Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi - Capítulo 12.1 - Ex. 10l

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desse livro

10. Calcule

l)

∫ 1 + sec ⁡ x 2 d x

Passo 1

Queremos calcular a seguinte integral:

I = ∫ 1 + sec ⁡ x 2 d x

Vamos começar analisando o termo integrante. Usando que a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 :

1 + sec ⁡ x 2 = 1 + 2 sec ⁡ x + sec 2 ⁡ x  

Então,

I = ∫ 1 + 2 sec ⁡ x + sec 2 ⁡ x     d x

Separando, temos:

I = ∫ d x + 2 ∫ sec ⁡ x d x + ∫ sec 2 ⁡ x d x

Passo 2

Da seção 12.1 desse capítulo, temos o seguinte:

a ) ∫ c   d x = c x + k

i ) ∫ sec 2 ⁡ x   d x = t g x + k

l )   ∫ sec ⁡ x d x = ln ⁡ sec ⁡ x + t g x + k

Passo 3

Agora é só usar essas relações para integrar!

I = x + k 1 + 2 ln ⁡ sec ⁡ x + t g x + k 2 + t g x + k 3

Juntando as constantes e arrumando as coisas:

I = x + 2 ln ⁡ sec ⁡ x + t g x + t g x + k

Resposta

∫ 1 + sec ⁡ x 2 d x = x + 2 ln ⁡ sec ⁡ x + t g x + t g x + k

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