Enunciado

1-26. Calcule a integral.

20. ∫ cos ⁡ θ 2 - s e n 2 θ d θ

Passo 1

Então galera, para resolvermos essa integral vamos utilizar a seguinte substituição simples:

u = s e n   θ

Disso podemos tirar que:

d u = cos ⁡ θ d θ

Substituindo na integral, teremos:

∫ cos ⁡ θ 2 - s e n 2 θ d θ = ∫ d u 2 - u 2

Ok, até aqui só fizemos a substituição simples, nada demais, galera!

Passo 2

A nossa substituição simples resultou em um tipo de integral bem conhecido! O nosso denominador é do tipo:

a 2 - x 2

Quando isso ocorre, temos que o resultado já é conhecido e tabelado! O resultado dessa integral é:

∫ d u 2 - u 2 = a r c   s e n   u a + C

Mas quem seria a ? Comparando a raíz que aparece na nossa integral com a 2 - x 2 , teremos:

a 2 = 2

∴ a = 2

Substituindo a e u no nosso resultado, teremos:

∫ cos ⁡ θ 2 - s e n 2 θ d θ = a r c   s e n   s e n   θ 2 + C

E está aí o resultado da nossa integral, pessoal!

Resposta

∫ cos ⁡ θ 2 - s e n 2 θ d θ = a r c   s e n   s e n   θ 2 + C

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