Enunciado

1-26. Calcule a integral.

26. ∫ 0 3 x 3 3 + x 2 5 2 d x

Passo 1

Então galera, para resolvermos essa integral vamos utilizar a seguinte substituição trigonométrica:

x = a . tan ⁡ θ

Pois o termo que aparece para nós é do tipo:

a 2 + x 2

Comparando nosso termo, que é 3 + x 2 com o termo acima, teremos:

a = 3

Ademais:

x = 3 . tan ⁡ θ

x 3 = 3 3 tan 3 ⁡ θ

E disso tiramos que:

d x = 3 . sec 2 ⁡ θ d θ

Passo 2

Substituindo os valores encontrados na nossa integral, teremos:

∫ 0 3 x 3 3 + x 2 5 2 d x = ∫ 0 3 3 3 tan 3 ⁡ θ 3 + 3 . tan ⁡ θ 2 5 2 3 . sec 2 ⁡ θ d θ

Simplificando isso aí, teremos:

∫ 0 3 3 3 tan 3 ⁡ θ 3 + 3 . tan ⁡ θ 2 5 2 3 . sec 2 ⁡ θ d θ = 9 ∫ 0 3 tan 3 ⁡ θ 3 sec 2 ⁡ θ 5 2 sec 2 ⁡ θ d θ

Aqui vale ressaltar que utilizamos a relação da trigonometria 1 + tan 2 ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ , beleza? Continuando, teremos:

9 ∫ 0 3 tan 3 ⁡ θ 3 sec 2 ⁡ θ 5 2 sec 2 ⁡ θ d θ = 3 3 ∫ 0 3 tan 3 ⁡ θ sec 3 ⁡ θ d θ

3 3 ∫ 0 3 tan 3 ⁡ θ sec 3 ⁡ θ d θ = 3 3 ∫ 0 3 sin 3 ⁡ θ d θ

Ufa! Foi chatinho, mas simplificamos nossa integral. Agora sim conseguimos resolvê-la!

Passo 3

Utilizando a relação fundamental da trigonometria, ou seja, 1 = c o s 2 x + s e n 2 x , teremos:

3 3 ∫ 0 3 1 - cos 2 ⁡ θ s e n   θ d θ

Chamando u = cos ⁡ θ , teremos que:

d u = - sen ⁡ θ d θ

Substituindo na nossa integral:

3 3 ∫ 0 3 1 - cos 2 ⁡ θ s e n   θ d θ = - 3 3 ∫ 0 3 1 - u 2 d u

Resolvendo isso, teremos:

- 3 3 ∫ 0 3 1 - u 2 d u = - 3 3 u - u 3 3 3 0

Voltando a variável θ :

- 3 3 u - u 3 3 3 0 = - 3 3 cos ⁡ θ - cos 3 ⁡ θ 3 3 0

Passo 4

Beleza galera, encontramos nossa integral, mas em termos de θ e queremos em termos de x . Da substituição trigonométrica que fizemos, tiramos que:

cos ⁡ θ = 3 3 + x 2

Substituindo no nosso resultado, teremos:

- 3 3 cos ⁡ θ - cos 3 ⁡ θ 3 3 0 = - 3 3 3 3 + x 2 - 3 3 + x 2 3 3 3 0

Aplicando os intervalos de integração:

- 3 3 3 3 + x 2 - 3 3 + x 2 3 3 0 = 5 3 72

∴ ∫ 0 3 x 3 3 + x 2 5 2 d x = 5 3 72

E esse é o nosso resultado, pessoal!

Resposta

∫ 0 3 x 3 3 + x 2 5 2 d x = 5 3 72

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