Enunciado

1-38 Calcule a integral.

30. ∫ e e ln ⁡ x x 2 d x

Passo 1

Galeraaaa,a gente vai resolver usando o método de integração por partes. Então, primeiro vamos ver quem vai ser o nosso u e o nosso d v . Que tal usarmos aquele macete, hein?! O famoso L I A T E .

Se você não sabe, é um macete que eu super recomendo você gravar. É muiiiito fácil e ajuda bastante.

l → f u n ç õ e s   l o g a r í t m i c a s

i → i n v e r s a s   t r i g o n o m é t r i c a s

a → f u n ç õ e s   a l g é b r i c a s

t → f u n ç õ e s   t r i g o n o m é t r i c a s

e → f u n ç õ e s   e x p o n e n c i a i s

Para escolher o nosso u , é só seguir essa ordem de preferência que começa de cima para baixo.

Então, sejam u = ln ⁡ x e 1 x 2 = d v .

u = ln ⁡ x                 →       d u = d x x x - 2 = d v         →       v = - 1 x

Passo 2

Assim, vamos ter que

∫ e e ln ⁡ x x 2 d x = - ln ⁡ x x e e - ∫ e e - 1 x 2 d x

Agora ficou fácil né?!

Resolvendo a integral do lado direito, obtemos

∫ e e - 1 x 2 d x = - ∫ e e 1 x 2 d x = 1 x e e = 1 e - 1 e    

Por último, é só a gente calcular isso aqui

- ln ⁡ x x e e

Molezaaa!!!

- ln ⁡ x x e e = - 1 e + 1 2 e

Somando as respostas, vemos que

Ops.... não se esqueça do menos antes da nossa integral!!!

∫ e e ln ⁡ x x 2 d x = - 1 e + 1 2 e - 1 e + 1 e     = - 2 e + 3 2 e    

Resposta

- 2 e + 3 2 e    

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