Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1 - Capítulo 5.9 - Ex. 2b

Ver Outros Exercícios
desse livro

1-4. Expresse a integral em termos da variável u , mas não a calcule.

2. b) ∫ - π 3 2 π 3 s e n   x 2 + cos ⁡ x d x ; u = 2 + cos ⁡ x

Passo 1

Então pessoal, para esse tipo de questão o intuito é só pegar a ideia de como resolver uma integral por substituição, tanto que não devemos calcular de fato a integral, apenas deixa-la nos moldes corretos! Vale ressaltar aqui que como queremos expressar a integral em termos da variável u , então também devemos alterar os intervalos de integração, ok? Então bora lá!

Nossa integral é:

∫ - π 3 2 π 3 s e n   x 2 + cos ⁡ x d x

E nossa substituição é:

u = 2 + cos ⁡ x

Derivando para descobrirmos d u em função de d x :

d u = - s e n   x d x

∴ - d u = s e n   x d x

Substituindo os valores encontrados na nossa integral, teremos:

∫ - π 3 2 π 3 s e n   x 2 + cos ⁡ x d x = - ∫ - π 3 2 π 3 d u u

Ok, primeira parte finalizada!

Passo 2

Por fim, o que devemos fazer agora é alterar os intervalos de integração, uma vez que não estamos mais integrando em relação a x , e sim em relação a u ! Os intervalos são: x = - π 3 e x = 2 π 3 , certo? Utilizando a substituição indicada, teremos:

u - π 3 = 2 + cos ⁡ - π 3 = 2 + 1 2 = 5 2

u 2 π 3 = 2 + cos ⁡ 2 π 3 = 2 - 1 2 = 3 2

Logo, nossa integral será:

∫ - π 3 2 π 3 s e n   x 2 + cos ⁡ x d x = - ∫ 5 2 3 2 d u u

E está aí nosso lindo resultado, galera!

Resposta

∫ - π 3 2 π 3 s e n   x 2 + cos ⁡ x d x = - ∫ 5 2 3 2 d u u

Exercícios de Livros Relacionados

5-18. Calcule a integral definida de duas formas: primeiro com uma sub

Ver Mais

Nos exercícios de 1 a 31, calcule a integral indefinida.17. ∫ d x s e

Ver Mais

Nos exercícios de 1 a 31, calcule a integral indefinida.16. ∫ d x s e

Ver Mais

O matemático alemão Karl Weierstrass (1815-1897) observou que a substi

Ver Mais

Explique a relação entre a regra da cadeia para a derivação e o método

Ver Mais