Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart - Capítulo 15.2 - Ex. 12

Ver Outros Exercícios
desse livro

15.12. Calcule a integral iterada.

∫ 0 1 ∫ 0 1 x y x 2 + y 2 + 1 d y d x

Passo 1

Vamos lá, temos que resolver a integral

∫ 0 1 ∫ 0 1 x y x 2 + y 2 + 1 d y d x

Uma integral dupla. A gente tem que integrar primeiro em y e depois em x , porque d x vem antes que vem antes que d y . É a mesma coisa que

∫ 0 1 ∫ 0 1 x y x 2 + y 2 + 1 d y d x

Passo 2

Então a gente pode resolver separadamente, começando por

∫ 0 1 x y x 2 + y 2 + 1 d y

Lembrando que nessa integral o x é constante.

x ∫ 0 1 y x 2 + y 2 + 1 d y

Para resolver essa integral precisamos usar a substituição

u = x 2 + y 2 + 1 d u = 2 y   d y d u 2 = y   d y

Então

x 2 ∫ 1 u   d u

A gente já já coloca os limites de volta

x 2 ∫ 1 u   d u = x 2 ∫ u - 1 2   d u

Agora podemos usar a regra da potência para a integração

x 2 ∫ u - 1 2   d u = x 2 ⋅ 2 ⋅ u 1 2 = x ⋅ u 1 2

Agora voltando da substituição

x ⋅ u 1 2 = x ⋅ x 2 + y 2 + 1 1 2

Com os limites

x ⋅ x 2 + y 2 + 1 0 1 = x   x 2 + 1 2 + 1 - x 2 + 0 2 + 1

= x x 2 + 2 - x 2 + 1 = x x 2 + 2 - x x 2 + 1

Passo 3

Beleza, calculamos

∫ 0 1 x y x 2 + y 2 + 1 d y

Então nossa integral fica

∫ 0 1 ∫ 0 1 x y x 2 + y 2 + 1 d y d x

∫ 0 1 x x 2 + 2 - x x 2 + 1 d x

E agora podemos integrar em x .

Agora podemos reescrever a integral assim

∫ 0 1 x x 2 + 2 - x x 2 + 1 d x = ∫ 0 1 x x 2 + 2   d x - ∫ 0 1 x x 2 + 1   d x

Agora a gente tem a subtração de duas integrais bem parecidas para resolver, vamos começar a resolver

∫ 0 1 x x 2 + 2   d x

Para resolver essa integral vamos fazer essa substituição

u = x 2 + 2   d u = x x 2 + 2 d x

Olha o que aconteceu aqui que interessante

d u = x u d x u   d u = x   d x

Então

∫ u   u   d u = ∫ u 2 d u

Usando a regra da potência

∫ u 2 d u = u 3 3

Voltando da substituição

u 3 3 = x 2 + 2 3 2 3

Nos limites

x 2 + 2 3 2 3 0 1 = 1 3 1 2 + 2 3 2 - 0 2 + 2 3 2

= 1 3 3 3 2 - 2 3 2

Agora a segunda integral

∫ 0 1 x x 2 + 1   d x

Que é muito parecida com a primeira, com a diferença que aqui é x 2 + 1 e não x 2 + 2 , mas essencialmente não tem diferença na integral, pois só muda o valor da constante, então

∫ 0 1 x x 2 + 1   d x = x 2 + 1 3 2 3 0 1

x 2 + 1 3 2 3 0 1 = 1 3 1 2 + 1 3 2 - 0 2 + 1 3 2

= 1 3 2 3 2 - 1

Então

∫ 0 1 x x 2 + 2 - x x 2 + 1 d x = 1 3 3 3 2 - 2 3 2 - 2 3 2 - 1

= 1 3 3 3 2 - 4 3 2 + 1 = 1 3 3 3 - 4 3 + 1

Então

∫ 0 1 ∫ 0 1 x y x 2 + y 2 + 1 d y d x = 1 3 3 3 - 4 3 + 1

Finalmente terminamos.

Resposta

∫ 0 1 ∫ 0 1 x y x 2 + y 2 + 1 d y d x = 1 3 3 3 - 4 3 + 1

Exercícios de Livros Relacionados

Um aluno está descendo de skate uma rampa de 6,0 m de comprimento e in

Ver Mais

Uma pessoa cujo peso é 5,20 10 2 N está sendo puxada para cima vertica

Ver Mais

Calcule a integral. ∫     x e 2 x 1 + 2 x 2   d x

Ver Mais

1. Verifique que a função dada é diferenciável.b) f x , y = x 4 + y 3

Ver Mais

Calcule o centroide da área a seguir em termos das variáveis dos raios

Ver Mais