Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold - Capítulo 3.10 - Ex. 19

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  19 .   A c h e d 4   d x 4 3   2 x - 1

Passo 1

Para acharmos o resultado dessa derivada de ordem 4 precisamos ter em mente duas coisas:

1 -Teremos que fazer 4 derivadas. Uma da função dada e três das que conseguiremos através dela, pois a ordem da derivada nos dá essa informação.

2 - Derivaremos as funções usando a regra do quociente.

Passo 2

1ª Derivada: Usaremos a função que nos foi dada inicialmente.

d   d x 3   2 x - 1 =   d   d x 3 ⋅ ( 2 x - 1 ) - 3 ⋅ d   d x ( 2 x - 1 ) ( 2 x - 1 ) ²

                                                    = - 3 ⋅ 2 ( 2 x - 1 ) ²

                                                    = - 6 ( 2 x - 1 ) ²

Passo 3

2ª Derivada: Usaremos a função encontrada no final do Passo 2 dentro do nosso parêntese.

d   d x - 6 2 x - 1 2 =   d   d x - 6 ⋅ ( 2 x - 1 ) ² - ( - 6 ) ⋅ d   d x 2 x - 1 2 ( 2 x - 1 ) 4

                                                              = 6 ⋅ 2 2 x - 1 ⋅ 2 ( 2 x - 1 ) 4

                                                                = 24 ( 2 x - 1 ) 3

Passo 4

3ª Derivada: Usaremos a função encontrada no final do Passo 3 dentro do nosso parêntese.

d   d x 24 2 x - 1 3 = d   d x 24 ⋅ ( 2 x - 1 ) ³ - 24 ⋅ d   d x 2 x - 1 3 ( 2 x - 1 ) 6

                                                                =   - 24 ⋅ 3 ( 2 x + 1 ) 2 ⋅ 2 ( 2 x - 1 ) 6

                                                                = - 144 ( 2 x - 1 ) 4

Passo 5

4ª Derivada: Usaremos a função encontrada no final do Passo 4 dentro do nosso parêntese.

d   d x - 144 2 x - 1 4 =   d   d x - 144 ⋅ 2 x - 1 4 - ( - 144 ) ⋅ d   d x [ 2 x - 1 4 ] ( 2 x - 1 ) 8

                                                                =   144 ⋅ 4 ( 2 x - 1 ) 3 ⋅ 2 ( 2 x - 1 ) 8

                                                                = 1152 ( 2 x - 1 ) 5

Passo 6

Prontinho, fizemos as quatro derivações necessárias. Agora para o resultado final é só igualar a derivada de ordem 4 dada no enunciado ao resultado da última derivada que fizemos.

Resposta

d 4   d x 4 3   2 x - 1 = 1152 ( 2 x - 1 ) 5

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