Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold - Capítulo 3.10 - Ex. 20

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  20 .   A c h e   f 4 x   s e   f x = 2 x - 1  

Passo 1

Para acharmos o resultado dessa derivada de ordem 4 precisamos ter em mente duas coisas:

1 -Teremos que fazer 4 derivadas. Uma da função dada e três das que conseguiremos através dela, pois a ordem da derivada nos dá essa informação.

2 - Derivaremos as funções usando a regra do quociente.

Passo 2

1ª Derivada: Usaremos a função que nos foi dada inicialmente.

f ' x =   2 ' ⋅ ( x - 1 ) - 2 ⋅ ( x - 1 ) ' ( x - 1 ) 2

                      = - 2 ⋅ 1 ( x - 1 ) 2

                      = - 2 ( x - 1 ) 2

Passo 3

2ª Derivada: Usaremos a função encontrada no final do Passo 2 para derivar.

f ' ' x = - 2 ' ⋅ ( x - 1 ) ² - ( - 2 ) ⋅ ( ( x - 1 ) ² ) ' ( x - 1 ) 4

                      =   2 ⋅ 2 x - 1 ⋅ 1 ( x - 1 ) 4

                      = 4 ( x - 1 ) 3

Passo 4

3ª Derivada: Usaremos a função encontrada no final do Passo 3 para derivar.

f ' ' ' ( x ) =   4 ' ⋅ ( x - 1 ) ³ - 4 ⋅ ( ( x - 1 ) ³ ) ' ( x - 1 ) 6

                        = - 4 ⋅ 3 x - 1 ² ⋅ 1 ( x - 1 ) 6

                        = - 12 ( x - 1 ) 4

Passo 5

4ª Derivada: Usaremos a função encontrada no final do Passo 4 para derivar.

f 4 x = - 12 ' ⋅ x - 1 4 - ( - 12 ) ⋅ ( ( x - 1 ) 4 ) ' ( x - 1 ) 8

                              = 12 ⋅ 4 x - 1 ³ ⋅ 1 ( x - 1 ) 8

                              = 48 ( x - 1 ) 5

Passo 6

Prontinho, fizemos as quatro derivações necessárias. Agora para o resultado final é só igualar a derivada de ordem 4 dada no enunciado ao resultado da última derivada que fizemos.

Resposta

f 4 x = 48 ( x - 1 ) 5

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