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Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart - Capítulo 9.5 - Ex. 23

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23. Uma equação diferencial de Bernoulli [em homenagem a James Bernoulli (1954-1705)] é da forma

d y d x + P x y = Q x y n

Observe que se n = 0 ou 1 , a equação de Bernoulli é linear. Para outros valores de n , mostre que a substituição u = y 1 - n , transforma a equação de Bernoulli na equação linear

d u d x + 1 - n P x u = 1 - n Q ( x )

Passo 1

Observe que quando fazemos u = y 1 - n , temos que d u = 1 - n y 1 - n - 1 d y = 1 - n y - n d x isto é, d y = d u 1 - n y - n .

Passo 2

Observe que agora a equação de Bernoulli tem a seguinte forma d y d x 1 - n y - n + P x y = Q x y n   . Multiplicando tudo por ( 1 - n ) y - n , temos ( 1 - n ) y - n d y d x 1 - n y - n + P x y ⋅ ( 1 - n ) y - n = Q x y n 1 - n y - n e por fim, a equação toma a seguinte forma   d u d x + 1 - n P x u = 1 - n Q ( x ) que é uma EDO linear.

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