Enunciado

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24. Ache d 3 u d v 3 se u = v v - 2 .

Passo 1

Para acharmos o resultado dessa derivada de ordem 3 precisamos ter em mente três coisas:

1 - Teremos que fazer 3 derivadas. Uma da função dada e duas das que conseguiremos através dela, pois a ordem da derivada nos dá essa informação.

2 – Usaremos a regra da cadeia nesta derivação.

3 - v v - 2 = v v - 2 1 2

Passo 2

1ª Derivada: Usaremos a função que nos foi dada inicialmente.

d u d v = d v d v ⋅ v - 2 1 2 + v ⋅ d d v [ v - 2 1 2 ]  

= v - 2 1 2 + v ⋅ 1 2 v - 2 - 1 2 ⋅ 1

= v - 2 1 2 + v 2 v - 2 - 1 2

Passo 3

2ª Derivada: Usaremos a função encontrada no final do Passo 2 dentro do nosso colchete.

d d v v - 2 1 2 + v 2 v - 2 - 1 2 = d d v v - 2 1 2 + d d v v 2 v - 2 - 1 2

  = 1 2 v - 2 - 1 2 ⋅ 1 + 1 2 v - 2 - 1 2 + v 2 - 1 2 v - 2 - 3 2  

= 1 2 v - 2 - 1 2 + 1 2 v - 2 - 1 2 - v 4 v - 2 - 3 2

= v - 2 - 1 2 - v 4 v - 2 - 3 2

Passo 4

3ª Derivada: Usaremos a função encontrada no final do Passo 3 dentro do nosso colchete.

d d v v - 2 - 1 2 - v 4 v - 2 - 3 2 = d d v v - 2 - 1 2 - d d v v 4 v - 2 - 3 2

= - 1 2 v - 2 - 3 2 - 1 4 v - 2 - 3 2 + v 4 - 3 2 v - 2 - 5 2 ⋅ 1

= - 1 2 v - 2 - 3 2 - 1 4 v - 2 - 3 2 + 3 v 8 v - 2 - 5 2

= - 3 4 v - 2 - 3 2 + 3 v 8 v - 2 - 5 2

Passo 5

Para simplificar essa expressão ao máximo, teremos:

= - 3 4 v - 2 3 2 + 3 v 8 v - 2 5 2

Multiplicando o primeiro termo no numerador e no denominador por ( v - 2 ) :

= - 3 ⋅ v - 2 4 v - 2 3 2 ⋅ v - 2 + 3 v 8 v - 2 5 2

= - 3 v - 6 4 v - 2 5 2 + 3 v 8 v - 2 5 2

= - 2 3 v - 6 + 3 v 8 v - 2 5 2

= - 6 v + 12 + 3 v 8 v - 2 5 2 = - 3 v - 4 8 v - 2 5 2

Passo 6

Prontinho, fizemos as três derivações necessárias. Agora para o resultado final é só igualar a derivada de ordem 3 dada no enunciado ao resultado da última derivada que fizemos.

Resposta

d 3 u d v 3 = - 3 v - 4 8 v - 2 5 2

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