Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A - Capítulo 6.4 - Ex. 25

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25. ∫ 3 d x x 2 - 4 x + 1

Passo 1

Neste exercício, vamos calcular a integral abaixo, usando método da substituição:

∫ 3 d x x 2 - 4 x + 1

Para prosseguir no cálculo, precisamos arrumar a integral, para que seja possível sua resolução. Teremos que completar o quadrado no denominador.

Completando o quadrado: x 2 - 4 x + 1 = x - 2 2 - 3

∫ 3 d x ( x - 2 ) 2 - 3  

Vamos dividir tudo para rearranjar a integral:

∫ 3 d x 3 ( x - 2 ) 3 2 - 3 3  

= - ∫ d x 1 - x - 2 3 2

Fazendo – se

u 2 = x - 2 3 2

u = x - 2 3 d x

d u = 1 3 d x

Teremos:

= - 3 ∫ d u 1 - u 2   d u

- 3 ⋅ ln ⁡ u + 1 ) - ln ⁡ u - 1   2   + c      

Passo 2

- 3 ⋅ ln ⁡ 1 + u ) - ln ⁡ 1 - u   2   + c

Temos que: ln ⁡ a - ln ⁡ b = ln ⁡ a b

- 3 ⋅ 1 2 ⋅ ln ⁡ 1 + u 1 - u + c

Substituindo u = x - 2 3

- 3 2 ⋅ ln ⁡ 1 + x - 2 3 1 - x - 2 3 + c

Passo 3

Passo 4

Passo 5

Resposta

- 3 2 ⋅ ln ⁡ 1 + x - 2 3 1 - x - 2 3 + c

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