Enunciado

33.Use o teorema 5.5 . 6 para determinar se o valor da integral é positivo ou negativo

a) ∫ 2 3 x 1 - x d x

b) ∫ 0 4 x 2 3 - cos ⁡ x d x

Passo 1

Vamos lá, a ideia dessa questão é que para sabermos o sinal da integral, precisamos olhar para o sinal da função nos intervalos de integração!!

Passo 2

Se você não entendeu muito bem, o que quero dizer é o seguinte! Se você quer saber o sinal da integral a baixo:

∫ 2 3 x 1 - x d x

Você vai precisar saber o sinal da função abaixo:

f x = x 1 - x

No intervalo [ 2,3 ] .

Então precisamos analisar o sinal de y = x no intervalo [ 2,3 ] e analisar o sinal de y = 1 - x no intervalo [ 2,3 ] .

Vamos por parte, começaremos com essa aqui y = x

Essa função é positiva para qualquer valor maior que zero, então é positiva no intervalo [ 2,3 ] .

Então só precisamos analisar a função y = 1 - x no intervalo [ 2,3 ] , vamos desenhar o gráfico dessa função nesse intervalo!

Essa função é negativa no intervalo de [ 2,3 ] , então a função f x = x 1 - x é negativa no intervalo [ 2,3 ] , o que nos permite afirmar que a integral abaixo também é negativa. ∫ 2 3 x 1 - x d x < 0

Passo 3

Deixei para o passo 3, a questão da letra b). Vamos pensar da mesma forma.

∫ 0 4 x 2 3 - cos ⁡ x d x

Você vai precisar saber o sinal da função abaixo:

f x = x 2 3 - cos ⁡ x

No intervalo [ 2,3 ] .

Então precisamos analisar o sinal de y = x 2 no intervalo [ 0 , 4 ] e analisar o sinal de y = 3 - cos ⁡ x no intervalo [ 0 , 4 ] .

Vamos por parte, começaremos com essa aqui y = y = x 2

Essa função é positiva para qualquer real então é positiva no intervalo [ 0 , 4 ] .

Então só precisamos analisar a função y = 3 - cos ⁡ x no intervalo [ 0 , 4 ] , vamos desenhar o gráfico dessa função nesse intervalo!

Essa função é positiva no intervalo de [ 0 , 4 ] , então a função f x = x 2 3 - cos ⁡ x é positiva no intervalo [ 0,4 ] , , o que nos permite afirmar que a integral abaixo também é positiva. ∫ 0 4 x 2 3 - cos ⁡ x d x > 0

Passo 4

Passo 5

Resposta

  1. Negativa
  2. Positiva

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