Enunciado

37-48. Calcule a integral.

46. ∫ 2 x + 3 4 x 2 + 4 x + 5 d x

Passo 1

Então pessoal, a integral que nos foi dada é muito complicada de se resolver da maneira que está, então o que devemos fazer é completar quadrado no denominador, a fim de facilitar nossa vida, ok? Completando o quadrado, teremos:

4 x 2 + 4 x + 5 = 4 x 2 + x + 5 4

4 x 2 + x + 5 4 = 4 x 2 + x + 1 4 + 1

4 x 2 + 4 x + 5 = 4 x + 1 2 2 + 4

Substituindo na nossa integral:

∫ 2 x + 3 4 x 2 + 4 x + 5 d x = ∫ 2 x + 3 4 x + 1 2 2 + 4 d x

Agora sim conseguimos resolver!

Passo 2

Para resolver a integral vamos utilizar uma substituição simples, saca só:

u = x + 1 2

Disso também tiramos que:

x = u - 1 2

Ademais:

d u = d x

Substituindo na nossa integral, teremos:

∫ 2 x + 3 4 x + 1 2 2 + 4 d x = ∫ 2 u - 1 2 + 3 4 u 2 + 4 d u

∫ 2 u - 1 2 + 3 4 u 2 + 4 d u = ∫ 2 u + 2 4 u 2 + 4 d u = 1 2 ∫ u + 1 u 2 + 1 d u

Como temos uma soma no numerador, podemos separar em duas integrais:

1 2 ∫ u + 1 u 2 + 1 d u = 1 2 ∫ u u 2 + 1 d u + 1 2 ∫ d u u 2 + 1

E aqui apareceram mais duas integrais para resolvermos, então vamos com calma, resolvendo uma de casa vez, ok? Show!

Passo 3

Para a primeira integral, temos o seguinte, galera:

1 2 ∫ u u 2 + 1 d u

Podemos fazer uma substituição simples, chamando y = u 2 + 1 :

d y = 2 u d u

∴ d y 2 = u d u

Substituindo na integral:

1 4 ∫ d y y = 1 4 ln ⁡ y + C

Como y = u 2 + 1 , então:

1 2 ∫ u u 2 + 1 d u = 1 4 ln ⁡ u 2 + 1 + C

E como u = x + 1 2 , então:

1 4 ln ⁡ u 2 + 1 + C = 1 4 ln ⁡ x + 1 2 2 + 1 + C

E essa é a nossa primeira integral! Agora vamos para a segunda!

Passo 4

A segunda integral que encontramos é essa:

1 2 ∫ d u u 2 + 1

Que é uma integral tabelada, pessoal. O resultado dessa integral é:

1 2 ∫ d u u 2 + 1 = 1 2 a r c tan ⁡ u + C

E como u = x + 1 2 , então:

1 2 a r c tan ⁡ u + C = 1 2 a r c tan ⁡ x + 1 2 + C

Portanto, unindo as duas integrais, teremos:

1 2 ∫ u u 2 + 1 d u + 1 2 ∫ d u u 2 + 1 = 1 4 ln ⁡ u 2 + 1 + 1 2 a r c tan ⁡ u + C

∴ ∫ 2 x + 3 4 x 2 + 4 x + 5 d x = 1 4 ln ⁡ x + 1 2 2 + 1 + 1 2 a r c tan ⁡ x + 1 2 + C

E esse é o nosso resultado, pessoal!

Resposta

∫ 2 x + 3 4 x 2 + 4 x + 5 d x = 1 4 ln ⁡ x + 1 2 2 + 1 + 1 2 a r c tan ⁡ x + 1 2 + C

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