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39 – A região apresentada aqui gira em torno do eixo x para gerar um, sólido. Qual método (do disco, do anel, da casca) você usaria para determinar o volume do sólido? Quantas integrais seriam necessárias em cada caso? Explique

Passo 1

Pelo método do disco teremos:

V = V 1 - V 2

Como esta em torno do eixo x, teremos que organizar a função:

x = 3 y 2 - 2 → x + 2 = 3 y 2 → y 2 = x + 2 3 ⇒ y = x + 2 3

x = y 2 → y =   x

Utilizaremos a fórmula:

V =   ∫ a 1 b 1 π R 1 x 2   d x - ∫ a 2 b 2 π R 2 x 2   d x

Assim teremos:

R 1 x = x + 2 3   e   R 2 x = x  

Inserindo na Integral:

V =   ∫ - 2 1 π x + 2 3 2   d x - ∫ 0 1 π x 2   d x

Como não solicita que resolvamos o exercício, podemos concluir que pelo método do disco duas integrais são necessárias! Não seria necessário nem demonstrar o apresentado apenas observar que como requer a integral de V1 e V2 ela necessitará de no mínimo duas integrais.

Passo 2

Pelo método do anel:

V = V 1 + V 2

Calcular o primeiro volume:

V 1 = ∫ a 1 b 1 π R 1 x 2 - r 1 x 2   d x

No qual:

R 1 x = x + 2 3   e   r 1 x = 0

E limites de integração seriam: a 1 = - 2   e   b 1 = 0

Calcular o segundo volume:

V 2 = ∫ a 2 b 2 π R 2 x 2 - r 2 x 2   d x

No qual:

R 2 x = x + 2 3     e   r 2 x = x  

E limites de integração seriam: a 2 = 0   e   b 2 = 1

Assim seriam necessárias Duas Integrais.

Passo 3

Pelo método da casca:

V =   ∫ c d 2 π r a i o a l t u r a   d y = 2 π ∫ c d y a l t u r a   d y

Observe que deveremos achar a altura, para isto fazemos:

y 2 - 3 y 2 - 2 = y 2 - 3 y 2 + 2 ⇒ 2 y 2 + 2

E os limites de integração seriam: c = 0   e   d = 1

Podemos concluir que seriam necessárias apenas uma integral, sendo este método mais eficiente.

Resposta

O método mais eficiente é o da casca.

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