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Exercícios Resolvidos de Um curso de Cálculo Volume 1 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi

Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi - 7.17 - 39

39. Utilizando os exercícios 37 e 38, calcule.

a) lim x → 1 ⁡ x 100 + x - 2 x 99 - x b)   lim x → 1 ⁡ x 3 - x 2 - x + 1 x 10 - 9 x 2 + 8 x

c) lim x → - 1 ⁡ x 5 + 3 x + 4 x 20 + 3 x + 2 d)   lim x → 1 ⁡ x 4 - 2 x 3 + 2 x - 1 x 8 - 6 x 6 + 8 x 5 - 3 x 4

Passo 1

Primeiramente, temos que verificar se o item a) satisfaz as hipóteses das questões 37 e 38.

Ao substituir x por 1 na função racional, teremos:

lim x → 1 ⁡ x 100 + x - 2 x 99 - x = 0 0

Portanto, podemos derivar cada um dos polinômios.

lim x → 1 ⁡ x 100 + x - 2 x 99 - x = l i m x → 1 100 x 99 + 1 99 x 98 - 1

Agora, vamos substituir novamente x por 1 e torcer para não dar zero no denominador.

l i m x → 1 100 x 99 + 1 99 x 98 - 1 = 100.1 + 1 99.1 - 1 = 101 98

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Primeiramente, temos que verificar se o item b) satisfaz as hipóteses das questões 37 e 38.

Ao substituir x por 1 na função racional, teremos:

lim x → 1 ⁡ x 3 - x 2 - x + 1 x 10 - 9 x 2 + 8 x = l i m x → 1 0 0

Portanto, podemos derivar cada um dos polinômios.

lim x → 1 ⁡ x 3 - x 2 - x + 1 x 10 - 9 x 2 + 8 x = lim x → 1 ⁡ 3 x 2 - 2 x - 1 10 x 9 - 18 x + 8

Agora, vamos substituir novamente x por 1 e torcer para não dar zero no denominador.

lim x → 1 ⁡ 3 x 2 - 2 x - 1 10 x 9 - 18 x + 8 = 3 . 1 2 - 2.1 - 1 10.1 9 - 18.1 + 8 = 0 0

Ihhhhhhh. O denominador continua se anulando. Mas espera !!!! Nós podemos derivar mais uma vez. Perceba que a função racional obtida após a primeira derivação satisfaz a hipótese da questão 38.

Portanto,

lim x → 1 ⁡ 3 x 2 - 2 x - 1 10 x 9 - 18 x + 8 = lim x → 1 ⁡ 6 x - 2 90 x 8 - 18

Substituindo novamente por 1, teremos:

lim x → 1 ⁡ 6 x - 2 90 x 8 - 18 = 4 72 = 1 18

Passo 3

Primeiramente, temos que verificar se o item c) satisfaz as hipóteses das questões 37 e 38.

Ao substituir x por 1 na função racional, teremos:

lim x → - 1 ⁡ x 5 + 3 x + 4 x 20 + 3 x + 2 = 0 0

Portanto, podemos derivar cada um dos polinômios.

lim x → - 1 ⁡ x 5 + 3 x + 4 x 20 + 3 x + 2 = lim x → - 1 ⁡ 5 x 4 + 3 20 x 19 + 3

Agora, vamos substituir novamente x por 1 e torcer para não dar zero no denominador.

l i m x → - 1 5 x 4 + 3 20 x 19 + 3 = - 8 17

Passo 4

Primeiramente, temos que verificar se o item c) satisfaz as hipóteses das questões 37 e 38.

Ao substituir x por 1 na função racional, teremos:

  lim x → 1 ⁡ x 4 - 2 x 3 + 2 x - 1 x 8 - 6 x 6 + 8 x 5 - 3 x 4 = 0 0

Portanto, podemos derivar cada um dos polinômios.

lim x → 1 ⁡ x 4 - 2 x 3 + 2 x - 1 x 8 - 6 x 6 + 8 x 5 - 3 x 4 = lim x → 1 ⁡ 4 x 3 - 6 x 2 + 2 8 x 7 - 36 x 5 + 40 x 4 - 12 x 3

Agora, vamos substituir novamente x por 1 e torcer para não dar zero no denominador.

lim x → 1 ⁡ 4 x 3 - 6 x 2 + 2 8 x 7 - 36 x 5 + 40 x 4 - 12 x 3 = 0 0

Ihhhhhhh. O denominador continua se anulando. Mas espera !!!! Nós podemos derivar mais uma vez. Perceba que a função racional obtida após a primeira derivação satisfaz a hipótese da questão 38.

Portanto,

lim x → 1 ⁡ 4 x 3 - 6 x 2 + 2 8 x 7 - 36 x 5 + 40 x 4 - 12 x 3 = lim x → 1 ⁡ 12 x 2 - 12 x 56 x 6 - 180 x 4 + 160 x 3 - 36 x 2

Substituindo novamente por 1, teremos:

lim x → 1 ⁡ 12 x 2 - 12 x 56 x 6 - 180 x 4 + 160 x 3 - 36 x 2 = 12 . 1 2 - 12.1 56.1 6 - 180 . 1 4 + 160 . 1 3 - 36 . 1 2 = 0 0

Deu zero de novo !!!! A solução é a continuar derivando. Então, vamos lá !!!

lim x → 1 ⁡ 12 x 2 - 12 x 56 x 6 - 180 x 4 + 160 x 3 - 36 x 2 = lim x → 1 ⁡ 24 x - 12 336 x 5 - 720 x 3 + 480 x 2 - 72 x = 12 24 = 1 2

Resposta

a)   101 98

b)   1 18

c)   - 8 17

d)   1 2

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