Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart - Capítulo 2.9 - Ex. 45

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45.

(a) Esboce o gráfico da função f ( x ) = x x .

(b) Para que os valores de x são diferenciáveis?

(c) Encontre uma fórmula para f ´

Passo 1

Inicialmente transformaremos nossa função em uma função de duas variáveis:

Se x ≥ 0 , x = x

Então   f ( x ) = x 2

Se x < 0 , x = - x

Então   f ( x ) = - x 2

O gráfico para   x ≥ 0 é um ramo de parábola com concavidade voltada para cima.

E para x < 0 , é um ramo de parábola com concavidade para baixo. Faremos o esboço no próximo passo.

Passo 2

(A)

(B)

A função não apresenta bico, nem tangente vertical e nem descontinuidade, então é derivável em todos os valores Reais. R

Passo 3

(C)

Na letra c, usaremos a fórmula de derivada para calcularmos, mas faremos duas expressões, uma para x ≥ 0 e outra para x < 0 :

Para x ≥ 0 :

f ´ ( x ) = ⁡ lim h → 0 ⁡ f ( x + h ) - f ( x ) h = l i m h → 0 x 2 + 2 x h + h 2 - x 2 h = l i m h → 0 2 x h + h 2 h = l i m h → 0 ( 2 x + h ) = 2 x

Para x < 0 :

f ´ ( x ) = ⁡ lim h → 0 ⁡ f ( x + h ) - f ( x ) h = l i m h → 0 - x 2 - 2 x h - h 2 + x 2 h = l i m h → 0 - 2 x h - h 2 h = l i m h → 0 ( - 2 x - h ) = - 2 x

f ´ ( x ) = 2 x , s e   x ≥ 0 - 2 x   ,   s e     x < 0   = 2 x  

Passo 4

Resposta

(A)

(B)

A função não apresenta bico, nem tangente vertical e nem descontinuidade, então é derivável em todos os valores Reais. R

(C)

f ´ ( x ) = 2 x , s e   x ≥ 0 - 2 x   ,   s e     x < 0   = 2 x  

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