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Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold - Capítulo 3.5 - Ex. 46b

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46. b) Ache lim h → 0 ⁡ sec ⁡ π 6 + h - sec ⁡ π 6 h

Interpretando-o como uma derivada.

Passo 1

Primeiro vamos lembrar da definição de derivada:

f ' x = l i m x → 0 f x + h - f x h  

Comparando com a expressão que temos do enunciado a função f x = s e c x e o x = π 6 . Assim temos a seguinte igualdade:

f ' π 6 =   lim h → 0 ⁡ s e c π 6 + h - s e c π 6 h

Então para achar o limite, basta calcular a derivada de f x = s e c x , em x = π 6 .

Passo 2

Derivando:

f x = s e c x

f ' x = s e c x ⋅ t g x

Passo 3

Agora vamos calcular f’(x) para x = π 6 :

f ' x = sec ⁡ x ⋅ t g x

f ' π 6 = sec ⁡ π 6 ⋅ t g π 6

                          = 1 c o s π 6 ⋅ t g π 6

                          = 1 3 2 ⋅ 3 3

                          = 2 3 ⋅ 3 3 = 2 3

Resposta

lim h → 0 ⁡ sec ⁡ π 6 + h - sec ⁡ π 6 h = 2 3

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