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48. Sejam p e q inteiros com q > 0 . Se y = x p q , derive implicitamente a equação equivalente y q = x p e mostre que, para y ≠ 0 ,

d d x x p q = p q x p q - 1

Passo 1

Então galera, essa questão se trata muito mais de manipulação matemática do que qualquer outra coisa. Para derivarmos implicitamente essa equação equivalente que nos foi dada, devemos seguir os seguintes passos:

1. Derivar ambos os lados da equação em relação a x , considerando y como uma função derivável de x ;

2. Agrupar os termos que possuem d y d x em um lado da equação e isolar d y d x .

Então bora lá fazer esse trem!

Passo 2

Aplicando o passo 1, teremos:

y q = x p

q . y q - 1 . d y d x = p . x p - 1

Aqui utilizamos a regra do expoente mesmo, ok? Agora aplicando o passo 2, teremos:

d y d x = p . x p - 1 q . y q - 1

Aqui já chegamos na nossa derivada, mas a questão nos pede para provar chegando em uma equação específica, então utilizando as regras de matemática básica conseguiremos chegar na equação equivalente que nos foi pedida, ok? Se liga!

Passo 3

Como y = x p q , então:

d y d x = p . x p - 1 q . x p q q - 1

d y d x = p . x p - 1 q . x p - p q

d y d x = p q . x p - 1 - p + p q

∴ d y d x = p q . x p q - 1

Como quer��amos demonstrar.

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