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4)Calcular ∬ R d x   d y 1 + x 2 + y 2 3 2 onde R é a região da Figura 7.35.

Passo 1

Ao analisar o gráfico, temos:

0 ≤ r ≤ a

0 ≤ θ ≤ π 2

Pelas coordenadas polares, temos que:

x = r ⋅ cos ⁡ θ

y = r ⋅ sen ⁡ θ

J a c o b i a n o = r

Dessa forma, temos:

x 2 + y 2 = r 2 ⋅ cos 2 ⁡ θ + r 2 ⋅ sen 2 ⁡ θ

cos 2 ⁡ + sen 2 ⁡ = 1

Logo,

= r 2 ⋅ cos 2 ⁡ θ + r 2 ⋅ sen 2 ⁡ θ = r 2

Dessa forma, temos:

∬ 0     0 a     π 2 r 1 + r 2 3 / 2 d θ   d r

Passo 2

Primeiro vamos integrar com relação a θ ,

∫ 0 π 2 r 1 + r 2 3 2   d θ = π 2 r 1 + r 2 3 2

Passo 3

Agora vamos integrar em relação a r ,

π 2 ∫ 0 a 1 + r 2 - 3 2   r d r   =

π 2 ⋅ 1 2 ⋅ 1 + r 2 - 3 2 - 1 2 0 a =

- π 2 ⋅ 1 1 + r 2 0 a =

π 2 ⋅ - 1 1 + a 2 + 1

Resposta

π 2 ⋅ - 1 1 + a 2 + 1

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