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51 – 52 Encontre f ' x . Verifique se sua resposta é razoável comparando os gráficos de f e f ' .

51. f x = e x - x 2 arctg ⁡ x

Passo 1

Aplicando a derivada vamos ter a derivada da soma, que é igual a soma das derivadas:

f ' x = d d x e x - x 2 arctg ⁡ x

f ' x = d d x e x - d d x x 2 arctg ⁡ x

Vamos precisar usar a regra do produto:

u ⋅ v ' = u ' ⋅ v + v ' ⋅ u

para resolver a derivada da direita da expressão:

f ' x = d d x e x - d d x x 2 ⋅ arctg ⁡ x + d d x arctg ⁡ x ⋅ x 2

As derivadas que estão nessa expressão foram vistas nesse capitulo e nos capítulos anteriores:

d d x e x = e x

d d x x 2 = 2 x

e por ultimo, uma das derivas que foram vistas nesse capitulo:

d d x arctg ⁡ x = 1 1 + x 2

Colocando tudo isso na expressão da derivada, temos:

f ' x = e x - 2 x ⋅ arctg ⁡ x + 1 1 + x 2 ⋅ x 2

f ' x = e x - 2 x arctg ⁡ x - x 2 1 + x 2

Passo 2

Para comparar os gráficos precisamos plota-los com o auxilio de algum software, eu vou usar o GeoGebra que é online e fácil de usar, só escrever a função que aparece lá:

A função verde é a que tínhamos no começo e a azul é sua derivada calculada por nós.

A função calculada por nós faz sentido:

  • Na coordenada em que a função atinge seu mínimo a derivada cruza o zero.
  • Onde a função está decrescendo a derivada realmente está negativa e onde a função está crescente a derivada está positiva.
  • Vemos dois pontos de inflexão na função original e nas coordenadas desses ponto a função da derivada atinge seus máximos e mínimos locais.

Resposta

f ' x = e x - 2 x arctg ⁡ x - x 2 1 + x 2

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