Enunciado

Ver Outros Exercícios
desse livro

51. Verifique que os seguintes pares de curvas se encontrem ortogonalmente.

b) x = 1 - y 2 ,       x = 1 3 y ²

Passo 1

Para que essas curvas sejam ortogonais entre si, o produto entre seus coeficientes angulares nos pontos de incidência têm que ser - 1 . Em outras palavras:

m 1 . m 2 = - 1

Sabendo disso, então devemos procurar duas coisas: os pontos em que as funções se encontram e as derivadas implícitas de ambas as funções, uma vez que essas derivadas são os coeficientes angulares, beleza? Lembrando também que para derivarmos implicitamente essas equações, devemos seguir os passos:

1. Derivar ambos os lados da equação em relação a x , considerando y como uma função derivável de x ;

2. Agrupar os termos que possuem d y d x em um lado da equação e isolar d y d x .

Então bora lá!

Passo 2

Para descobrir os pontos, vamos substituir uma equação na outra:

x = 1 - y 2 ⇒ 1 3 y 2 = 1 - y ²

∴ y = ± 3 2

Para y = + 3 2 , temos:

x = 1 - y 2 ⇒ x = 1 - 3 4

∴ x = 1 4

Para y = - 3 2 , temos:

x = 1 - y 2 ⇒ x = 1 - 3 4

∴ x = 1 4

Então os pontos que as funções incidem são: 1 4 ,   3 2   e   1 4 ,   - 3 2 .

Passo 3

Agora só precisamos determinar as derivadas das funções para iniciarmos as substituições dos pontos, beleza? Derivando, temos:

x = 1 - y 2

1 = - 2 y . d y d x

∴ d y d x = - 1 2 y = m 1

x = 1 3 y ²

3 = 2 y . d y d x

∴ d y d x = 3 2 y = m 2

Passo 4

Agora que descobrimos as funções dos coeficientes angulares, vamos substituir os pontos para determinarmos se são, de fato, ortogonais.

Para 1 4 ,   3 2 , temos:

m 1 = - 1 2 . 3 2 = - 3 3

m 2 = 3 2 . 3 2 = 3

∴ m 1 . m 2 = - 1   ( v e r d a d e i r o )

Para 1 4 ,   - 3 2 , temos:

m 1 = - 1 2 . - 3 2 = 3 3

m 2 = 3 2 . - 3 2 = - 3

∴ m 1 . m 2 = - 1   ( v e r d a d e i r o )

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre d y / d x derivando implicitamente. x 2 + y 3 = 1
a) Encontre y ' derivando implicitamente.b) Resolva a equação explicitamente isolando y e derive para obter y ' em função de x .c) Verifique que sua soluções das partes (a) e (b) s...
Encontre d y / d x derivando implicitamente. 1 + x = s e n ( x y 2 )
Considere y como variável independente e x como variável dependente e use a derivação implícita para encontrar d x / d y . y sec ⁡ x = x   t g   y
Nos Exercícios de29 a 32, considere y como a variável independente e ache d x d y 29. x 4 + y 4 = 12 x ² y ²
Suponha que y = f x seja uma função derivável e dada implicitamente pela equação x y 2 + y + x = 1 Mostre que f ' x = - 1 - f x 2 2 x   f x + 1 em todo x ∈ D f com 2 x   f x + 1 ≠ ...
Expresse d y d x em termos de x e de y , onde y = f x é uma função diferenciável dada implicitamente pela equaçãof) x y + y 3 = x
51. Verifique que os seguintes pares de curvas se encontrem ortogonalmente.a) x 2 + y 2 = 4 ,       x 2 = 3 y ² ²
Nos Exercícios 21-26, use derivação implícita para determinar d y d x e depois d ² y d x ² ² ².24. y 2 - 2 x = 1 - 2 y
Verifique que y 0 x + x 0 y = 2 é a equação da reta tangente à curva x y = 1 no ponto x 0 , y 0 , x 0 > 0 . Conclua que x 0 , y 0 é o ponto médio do segmento A B , em que A e B ...
A reta tangente à curva x y - x 2 = 1 no ponto x 0 , y 0 , x 0 > 0 , intercepta o eixo y no ponto B . Mostre que a área do triângulo de vértices 0,0 , x 0 , y 0 e B não depende ...
50. Existe algo especial em relação às tangentes das curvas y 2 = x ³ ³ e 2 x 2 + 3 y 2 = 5 nos pontos ( 1 ,   ± 1 ) ? Justifique sua resposta.