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5-20 Encontre as derivadas primeiras e segunda da função.

13. h x = x 2 + 1

Passo 1

Para derivarmos x 2 + 1 precisamos utilizar a regra da cadeia, ela diz que quando temos uma “função dentro da outra”:

F x = f g x

e queremos derivá-la, a gente faz a derivada da função de fora e multiplica pela derivada da função de dentro:

F ' x = f ' g x ⋅ g ' x

Nesse caso a função de fora é a raiz quadrada e a função de dentro é x 2 + 1 , então podemos escrever a equação como sendo:

h ' x = 1 2 x 2 + 1 ⋅ d d x x 2 + 1

h ' x = 1 2 x 2 + 1 ⋅ 2 x

h ' x = x x 2 + 1

Passo 2

E para achar a derivada segunda é só derivar mais uma vez a função, da mesma maneira que fizemos anteriormente:

h ' ' x = d d x x x 2 + 1

Mas agora precisaremos utilizar a regra da divisão:

u v ' = v u ' - u v ' v 2

Aplicando na nossa equação:

h ' ' x = x 2 + 1 ⋅ d d x x - x ⋅ d d x x 2 + 1 x 2 + 1 2

A derivada daquela raiz é a mesma calculado no passo anterior:

h ' ' x = x 2 + 1 ⋅ 1 - x ⋅ x x 2 + 1 x 2 + 1

h ' ' x = x 2 + 1 - x 2 x 2 + 1 x 2 + 1

Fazendo a subtração qu está no numerador:

h ' ' x = x 2 + 1 ⋅ x 2 + 1 - x 2 x 2 + 1 x 2 + 1

h ' ' x = x 2 + 1 - x 2 x 2 + 1 x 2 + 1

h ' ' x = 1 x 2 + 1 3 / 2

Resposta

h ' x = x x 2 + 1

h ' ' x = 1 x 2 + 1 3 / 2

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