Enunciado

63. a) Determine se os limites a seguir existem e, em caso afirmativo, encontre-os.

lim x → + ∞ ⁡ e x cos ⁡ x ,   lim x → - ∞ ⁡ e x cos ⁡ x

b) Esboce os gráficos de y = e x ,   y = - e x   e   y = e x cos ⁡ x no mesmo sistema de coordenadas e marque todos os pontos de intersecção.

c) Use um recurso gráfico computacional para gerar alguns membros da família y = e a x cos ⁡ b x a > 0   e   b > 0 e discuta o efeito da variação de a e b sobre a forma da curva.

Passo 1

a) Então galera, os limites que temos que calcular são:

lim x → + ∞ ⁡ e x cos ⁡ x ,   lim x → - ∞ ⁡ e x cos ⁡ x

Para o primeiro limite, temos:

lim x → + ∞ ⁡ e x cos ⁡ x = D i v e r g e

Em outras palavras, não temos um resultado para esse limite, ou seja, ele não existe. Para o segundo limite, temos:

lim x → - ∞ ⁡ e x cos ⁡ x

Como cos ⁡ x é uma função par, então:

cos ⁡ - x = cos ⁡ x

Aplicando o limite, teremos:

1 e ∞ . cos ⁡ ∞ = 0

Então esses são nossos limites, galera!

Passo 2

b) Esboçando o gráfico, teremos:

No qual a curva de azul é a função f x = - e x , a curva vermelha é a função f x = e x cos ⁡ x e a curva verde é a função f x = e x . Para encontrarmos os pontos de intersecção devemos igualar cada uma das funções para acharmos os respectivos valores de x aonde as intersecções ocorrem, então bora lá!

Passo 3

Para y = e x e y = e x cos ⁡ x temos:

e x = e x cos ⁡ x

cos ⁡ x = 1

Isso nos dá:

x = 2 π n

No qual n é qualquer valor natural, incluindo 0 .

Para y = - e x e y = e x cos ⁡ x temos:

- e x = e x cos ⁡ x

cos ⁡ x = - 1

Isso nos dá:

x = 2 π n + π

E esses são os pontos de intersecção!

Passo 4

c) Esboçar uma família de curvas da função que nos foi dada é adotar alguns valores de a e b para ver o comportamento da função. Logo:

Para a = 1 e b = 3 temos:

Para a = 2 e b = 4 temos:

O que podemos notar nesses gráficos é que a frequência de oscilação se altera quando mudamos os valores de a e b , então essa é a implicação dessas constantes na curva!

Resposta

a) lim x → + ∞ ⁡ e x cos ⁡ x = D i v e r g e

lim x → - ∞ ⁡ e x cos ⁡ x = 0

b) x = 2 π n e x = 2 π n + π

c) a e b alteram a frequência de oscilação da curva.

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