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Ache o comprimento da curva.

y = ln ⁡ ( sec ⁡ x ) ,     0 ≤ x ≤ π / 4

Passo 1

Devemos calcular o comprimento da curva no intervalo dado. Para isso, vamos usar a expressão

L = ∫ a b 1 + y ' 2   d x

Derivando a função, temos que

y ' = 1 sec ⁡ x ⋅ sec ⁡ x ' = 1 sec ⁡ x ⋅ sec ⁡ x   t g   x = t g   x

Assim,

1 + y ' 2 = 1 + t g 2 x = sec 2 ⁡ x

Passo 2

Desta forma, o comprimento é dado pela integral

L = ∫ 0 π / 4 sec 2 ⁡ x   d x

Como no intervalo 0 ≤ x ≤ π / 4 a secante é positiva, segue que sec 2 ⁡ x = sec ⁡ x . Assim,

L = ∫ 0 π / 4 sec ⁡ x   d x

A primitiva da secante é ln ⁡ ( sec ⁡ x + t g   x ) , de modo que

L = ln ⁡ sec ⁡ x + t g   x 0 π / 4 = ln ⁡ sec ⁡ π 4 + t g π 4 - ln ⁡ ( sec ⁡ 0 + t g   0 )

Por fim,

L = ln ⁡ 1 + 2 - ln ⁡ 1 = ln ⁡ ( 1 + 2 )

Resposta

ln ⁡ ( 1 + 2 )

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