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Ache a derivada da função

g x = ∫ tan ⁡ x x 2 1 2 + t 4 d t

Passo 1

Quando batemos o olho fica um pouco assustador né?! Mas vamos lembrar da parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo, que diz o seguinte

Se

g x = ∫ a x f ( t ) d t

Então

g ' x = f ( x )

Agora ficou mais simples de visualizar, não ficou?! Então vamos substituir esta integral por duas integrais da seguinte forma

g x = ∫ tan ⁡ x x 2 1 2 + t 4 d t = ∫ tan ⁡ x 1 1 2 + t 4 d t + ∫ 1 x 2 1 2 + t 4 d t

Vamos também trocar os limites de integração para ficarmos com as duas integrais indo de 1 até o limite superior

g x = - ∫ 1 t a n ⁡ ( x ) 1 2 + t 4 d t + ∫ 1 x 2 1 2 + t 4 d t

Passo 2

Agora que já relembramos o teorema fundamental do cálculo, vamos dizer o seguinte, seja

w = tan ⁡ x   e   z = x 2

Temos que

d w d x = sec 2 ⁡ ( x ) e   d z d x = 2 x

Então, se substituirmos na função g , ficamos com

g x = - ∫ 1 w 1 2 + t 4 d t + ∫ 1 z 1 2 + t 4 d t

Passo 3

Agora, podemos aplicar o Teorema Fundamental do Calculo, mas note que os limites superiores não são x , mas sim w e z , então precisamos usar a regra da cadeia para encontrarmos g ' ( x ) .

g ' x = - 1 2 + w 4 d w d x + 1 2 + z 4 d z d x

Agora, substituindo o que sabemos, podemos encontrar g ' ( x )

g ' x = - 1 2 + tan 4 ⁡ x sec 2 ⁡ x + 1 2 + x 2 4 ( 2 x )

g ' x = - sec 2 ⁡ x 2 + tan 4 ⁡ x + 2 x 2 + x 8

Resposta

g ' x = - sec 2 ⁡ x 2 + tan 4 ⁡ x + 2 x 2 + x 8

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