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Ache o limite

lim x → 1 + ⁡ x - 1 2 x - x 2 - 1

Passo 1

A primeira coisa para resolver esse limite é substituir o valor de x na expressão.

lim x → 1 + ⁡ x - 1 2 x - x 2 - 1 = 1 - 1 2 1 - 1 2 - 1 = 0 2 - 1 - 1 = 0 1 - 1 = 0 0

Ih, chegamos em um indeterminação. Antes de qualquer coisa temos que tentar tirá-la daí.

Para isso, vamos fazer um algebrismo malandro na fração dentro do limite.

x - 1 2 x - x 2 - 1

Vamos começar multiplicando essa fração pelo conjugado do denominador, que é 2 x - x 2 + 1

Vamos ter

x - 1 2 x - x 2 - 1 ∙ 2 x - x 2 + 1 2 x - x 2 + 1 = x - 1 2 x - x 2 + 1 2 x - x 2 - 1

Passo 2

Agora, temos que fatorar aquele denominador

2 x - x 2 - 1

Organizando e colocando - 1 em evidência, vamos ter

- x 2 - 2 x + 1

Isso é um trinômio quadrado perfeito,

- x - 1 2

Assim, nossa fração vai ficar

x - 1 2 x - x 2 + 1 - x - 1 2

Simplificando o x - 1

2 x - x 2 + 1 - x - 1

Passo 3

Vamos substituir agora isso no limite e ver o que temos

lim x → 1 + ⁡ 2 x - x 2 + 1 - x - 1 = 2 1 - 1 2 + 1 - 1 - 1 = 2 - 1 + 1 0 = 1 + 1 0 = 2 0

Opa, deu um número dividido por 0 , quando isso acontecer significa que o nosso limite vai para infinito.

Aqui, falta só descobrir o sinal do infinito que ele vai, se vai ser + ∞ ou - ∞

Para sabermos isso, precisamos analisar o sinal da expressão dentro do limite

Passo 4

Vamos olhar a fração que temos no limite

2 x - x 2 + 1 - x - 1

A questão pediu o limite lateral pela direita. Que é o limite por valores maiores que 1 .

O numerador é uma raiz quadrada mais 1 , a raiz é sempre positiva. Somando 1 vai continuar positivo. Então nosso numerador vai ser positivo.

O denominador vai ser x - 1 , como estamos com valores de x maiores que 1 , ele vai ser positivo. Mas cuidado, tem aquele na frente, o que faz com que o denominador no final fique negativo.

Uma fração com numerador positivo e denominador negativo, vai ser negativa.

Então vamos ter que essa expressão por valores maiores que 1 é negativa. O que vai fazer com que aquele que vimos seja - ∞

lim x → 1 + ⁡ x - 1 2 x - x 2 - 1 = - ∞

Resposta

- ∞

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