Enunciado

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Ache o limite

lim x → + ∞ ⁡ x 2 + x - x

Sugestão: Primeiro obtenha uma fração com um numerador racional.

Passo 1

Se tentarmos substuir x = ∞ vamos achar uma indeterminação ( ∞ - ∞ ), e não vamos conseguir resolver.

Vamos seguir a sugestão do enunciado. Mas como fazemos isso que ele quer?

Quando nos deparamos com uma subtração onde um dos termos é uma raiz quadrada, basta multiplicarmos pelo conjugado.

Vamos olhar a expressão:

x 2 + x - x

Nosso conjugado vai ser:

x 2 + x + x

Vamos então multiplicar da seguinte forma:

x 2 + x - x 1 . ( x 2 + x + x ) ( x 2 + x + x ) = x 2 + x 2 - x 2 x 2 + x + x = x 2 + x - x 2 x 2 + x + x = x x 2 + x + x

Opa, chegamos na fração que ele queria! Agora vamos olhar pro que a gente ficou!

Esse é aquele limite que temos de polinômio sobre polinômio, com x indo para .

Pera, mas tem uma raiz? Não importa. Como tem um polinômio dentro da Raiz, vamos usar a mesma ideia desse tipo de limite.

Para resolvê-los temos que colocar o termo de maior grau em evidência no numerador e depois a mesma coisa no denominador para simplificarmos e acharmos a resposta.

Passo 2

O nosso numerador é x .

Aqui só temos um termo, então não precisamos colocar nada em evidência.

Já o nosso denominador é:

x 2 + x + x

Colocando x 2 em evidência dentro da raiz, vamos ter:

x 2 1 + 1 x

Podemos tirar aquele x 2 da raiz.

x 2 = x

Como ele está pedindo o limite em + ∞ , os valores de x são positivos.

Nosso denominador vai ficar então:

x 1 + 1 x + x

Colocando o x em evidência em tudo:

x 1 + 1 x + 1

Passo 3

Voltando pra nossa fração, ela vai ficar:

x x 2 + 1 + x = x x 1 + 1 x + 1 = 1 1 + 1 x + 1

Agora, vamos achar o limite!

lim x → + ∞ ⁡ x 2 + x - x = lim x → + ∞ ⁡ 1 1 + 1 x + 1

Lembrando que 1 ∞ = 0 , vamos ter:

lim x → + ∞ ⁡ 1 1 + 1 x + 1 = 1 1 + 0 + 1 = 1 1 + 1 = 1 2

Resposta

1 2

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