Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold - Capítulo 4.2 - Ex. 7

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desse livro

Ache o número no intervalo 0 ,   1 , tal que a diferença entre o número seu quadrado seja um máximo.

Passo 1

Essas questões têm um jeito bem metódico de resolver, saca só:

  1. Precisamos de uma equação que associe a variável que queremos maximizar e outra variável do problema. Essa é normalmente a parte mais difícil do problema.
  2. Depois que temos essa função, vamos encontrar a derivada dela e procurar os valores onde ela se iguala a 0 e os valores onde ela não existe.
  3. A partir do Teorema do Valor Extremo vamos encontrar os máximos e mínimos comparando os valores da função original nos extremos do intervalo e nos pontos onde a derivada é nula ou inexistente.

Passo 2

Podemos escrever a diferença entre um número e seu quadrado dessa maneira:

D x = x - x 2

Como temos um intervalo fechado que a questão definiu, vamos checar logo o valor da função em cada um dos extremos. Podemos reescrever a função D como:

D x = x 1 - x

Assim vemos que tanto para x = 0 e x = 1 D x = 0 .

Passo 3

Então seu máximo está dentro desse intervalo fechado! Vamos derivar a função:

d D d x = 1 - 2 x

Igualando isso a 0 ficamos com:

1 - 2 x = 0

2 x = 1

Ou seja:

x = 1 2

Esse será o valor extremo que está no interior do intervalo fechado! Mas como podemos ter certeza que ele é um máximo e não um mínimo? Pensa comigo: se temos um número positivo menor que 1 e elevamos esse numero ao quadrado, o resultado é maior ou menor do que o número original? Menor! Então se fizermos x - x 2 no interior desse intervalo teremos números positivos. Mas nós já concluímos que D 0 = D 1 = 0 , então esses dois valores são mínimos globais, pois para os outros valores dentro desse intervalo, teremos valores positivos. Daí podemos concluir que x = 1 2 é de fato um máximo absoluto e não um mínimo!

Passo 4

Vamos fazer D 1 2 só por desencargo de consciência, pois já sabemos que ele é um máximo.

D 1 2 = 1 2 - 1 2 2 = 1 2 - 1 4 = 1 4

Resposta

1 2

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