Enunciado

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Ache a solução completa da equação diferencial (7) d u d v = 3 v ( 1 + u 2 ) u .

Passo 1

Uma equação contendo derivadas é chamada de equação diferencial. O tipo mais simples de equação diferencial é a equação de primeira ordem da forma d y d t = f x f ( y ) , assim como a equação do nosso exercício! Escrevendo essaequação com diferenciais, temos

f ( y ) d y = f x d x

Podemos ver que o primeiro membro envolve somente a variável y, enquanto que o segundo membro, somente a variável x. Assim, as variáveis estão separadas e dizemos que elas são equações diferenciais com variáveis separáveis. Como resolver esse tipo de equação? Aplicamos a integração dos dois lados da igualdade!

d u d v = 3 v ( 1 + u 2 ) u u ( 1 + u 2 ) d u = 3 v d v ∫ u ( 1 + u 2 ) d u = ∫ 3 v d v

Passo 2

Vamos separar essa solução das integrais em duas. Apelidaremos a integral do lado esquerdo da igualdade de A e do lado direito B. Para resolvermos a integral A, vamos fazer uma substituição de variáveis. Seja a = 1 + u ² . Aplicando a diferenciação dos dois lados da igualdade temos:

d a = 2 u d u d a 2 = u d u

Substituindo na integral A a variável temos:

A = ∫ d a 2 a = ∫ a - 1 2 d a 2

Passo 3

Resolvendo a integral A:

A = ∫ a - 1 2 d a 2 A = 1 2 ∫ a - 1 2 d a A = 1 2 a 1 2 1 2 + K A = 2 2 1 + u 2 1 2 + K A = 1 + u 2 1 2 + K

Passo 4

Resolvendo a integral B:

B = ∫ 3 v d v B = 3 v 2 2 + K

Passo 5

Juntando as duas respostas temos:

1 + u 2 1 2 + K 1 = 3 v 2 2 + K 2 1 + u 2 1 2 = 3 2 v 2 + K

Resposta

A solução completa da equação diferencial é:

1 + u 2 1 2 = 3 2 v 2 + K

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 5 e 6, copie os campos de direção e esboce algumas das curvas integrais. y ' = y y + 1 y - 1
Ache a solução completa da equação diferencial dada, determinada pelas condições iniciais (18) d s d t = cos ⁡ t 2 ; s = 3   q u a n d o   t = π 3 .
Ache a solução completa da equação diferencial (5) d y d x = 3 x y ² ².
Ache a solução completa da equação diferencial (12) d ² y d x ² = 2 x - 3 ² ² .
Ache a solução completa da equação diferencial (8) d y d x = x ² ( x 3 - 3 ) y ² ² ².
Ache a solução completa da equação diferencial (14) d ² u d v ² = t g v   s e c ² v ² ² ² .
Ache a solução completa da equação diferencial dada, determinada pelas condições iniciais (15) d y d x = x + 1 x + 2 ; y = - 3 2   q u a n d o   x = - 3 .
Ache a solução completa da equação diferencial (10) d u d v = c o s 2 v s e n 3 u .
Ache a solução completa da equação diferencial dada, determinada pelas condições iniciais (19) d ² u d v ² = 4 ( 1 + 3 v ) ² ; u = - 1   e d u d v = - 2   q u a n d o   v = - 1 ² ²...
Ache a solução completa da equação diferencial dada, determinada pelas condições iniciais (20) d ² y d x ² = - 3 x 4 ; y = 1 2   e d y d x = - 1   q u a n d o   x = 1 ² ² .
80. Encontre uma equação da curva que passe pelo ponto ( 0 , - 1 ) e para a qual a inclinação em qualquer ponto ( x , y ) sobre ela seja cos ⁡ x - y   t g   x .
Resolva a equação diferencial por dois métodos:b)Separe as variáveis. d y d x + y x = 0