Enunciado

Ver Outros Exercícios
desse livro

Ache a solução da equação diferencial que satisfaça a condição dada.

d y d x - y x = y - x ; y = 2   q u a n d o   x = 1

Passo 1

Verificamos se a equação diferencial é de primeira ordem em y   colocando-a na forma

d y d x + P x y = Q ( x )

Vamos então tentar arrumar a equação:

d y d x - y x = y - x ⇒ d y d x - y x - y = - x ⇒ d y d x - 1 x + 1 y = - x

Agora a equação está do jeito que queríamos, com P x = - 1 x - 1 e Q x = - x . O fator integrante pelo qual devemos multiplicar a equação é então e ∫ P x d x .

Passo 2

Calculamos então o fator de integração:

∫ P x d x = ∫ - 1 x - 1 d x = - l n ⁡ | x | - x + k

e ∫ P x d x = e - ln ⁡ x - x

Multiplicamos então a equação por e - ln ⁡ x - x :

e - ln ⁡ x - x d y d x - e - ln ⁡ x - x 1 x + 1 y = - x e - ln ⁡ x - x

Passo 3

Como d e - ln ⁡ x - x d x = e - ln ⁡ x - x - 1 x - 1 = - e - ln ⁡ x - x 1 x + 1 , temos:

e - ln ⁡ x - x d y d x - e - ln ⁡ x - x 1 x + 1 y = e - ln ⁡ x - x d y d x + d e - ln ⁡ x - x d x y = d y e - ln ⁡ x - x d x

⇒ d y e - ln ⁡ x - x d x = - x e - ln ⁡ x - x

⇒ d y e - x e ln ⁡ x - 1 d x = x ⋅ e - x e ln ⁡ x - 1 ⇒ d y e - x x d x = x x e - x

Passo 4

Agora integramos:

∫ d y e - x x = ∫ x x e - x d x ⇒ y e - x x = ∫ x x e - x d x

Para x > 0 , a integral fica:

∫ x x e - x d x = ∫ e - x d x = - e - x + C

Para x < 0 :

∫ x - x e - x d x = ∫ - e - x d x = e - x + C

O valor que satisfaz os dois casos é então:

∫ x x e - x d x = - x x e - x + C

Então:

y e - x x = ∫ x x e - x d x ⇒ y e - x x = - x x e - x + C ⇒ y = - x + C x e - x = - x + C x e x

Passo 5

Pelo enunciado, y 1 = 2 . Então:

- 1 + C e = 2 ⇒ C = 3 e = 3 e - 1

⇒ y = - x + x e - 1 e x = - x + x e x - 1

Resposta

y = - x + x e x - 1

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 5 e 6, copie os campos de direção e esboce algumas das curvas integrais. y ' = y y + 1 y - 1
Ache a solução completa da equação diferencial dada, determinada pelas condições iniciais (18) d s d t = cos ⁡ t 2 ; s = 3   q u a n d o   t = π 3 .
Ache a solução completa da equação diferencial (5) d y d x = 3 x y ² ².
Ache a solução completa da equação diferencial (12) d ² y d x ² = 2 x - 3 ² ² .
Ache a solução completa da equação diferencial (8) d y d x = x ² ( x 3 - 3 ) y ² ² ².
Ache a solução completa da equação diferencial (14) d ² u d v ² = t g v   s e c ² v ² ² ² .
Ache a solução completa da equação diferencial dada, determinada pelas condições iniciais (15) d y d x = x + 1 x + 2 ; y = - 3 2   q u a n d o   x = - 3 .
Ache a solução completa da equação diferencial (10) d u d v = c o s 2 v s e n 3 u .
Ache a solução completa da equação diferencial dada, determinada pelas condições iniciais (19) d ² u d v ² = 4 ( 1 + 3 v ) ² ; u = - 1   e d u d v = - 2   q u a n d o   v = - 1 ² ²...
Ache a solução completa da equação diferencial dada, determinada pelas condições iniciais (20) d ² y d x ² = - 3 x 4 ; y = 1 2   e d y d x = - 1   q u a n d o   x = 1 ² ² .
80. Encontre uma equação da curva que passe pelo ponto ( 0 , - 1 ) e para a qual a inclinação em qualquer ponto ( x , y ) sobre ela seja cos ⁡ x - y   t g   x .
Resolva a equação diferencial por dois métodos:b)Separe as variáveis. d y d x + y x = 0