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  1. Ache a soma de Riemann para f x = x - 2 sen ⁡ 2 x ,   0 ≤ x ≤ 3 , com seis termos, tomando como pontos amostrais os extremos direitos. (Dê sua resposta correta até a sexta casa decimal.) Explique o que representa a soma de Riemann com a ajuda de um esboço.
  2. Repita a parte (a) tomando como pontos amostrais os pontos médios.

Passo 1

(a) A soma de Riemann para uma função f ( x ) com 6 subintervalos ( n = 6 ), com aproximação pelos extremos direitos, pode ser definida pelo seguinte somatório:

S = ∑ i = 1 6 f x i Δ x

Temos 0 ≤ x ≤ 3 , então dividindo nosso intervalo em 6, Δ x é:

Δ x = 3 - 0 4 = 0,5

E nossos x i ’s são: x 1 = 0,5 , x 2 = 1 , x 3 = 1,5 e x 4 = 2 , x 5 = 2,5 e x 6 = 3 . Esses são os pontos finais de cada intervalo. A soma de Riemann fica então:

S = ∑ i = 1 6 f x i Δ x = 0,5 ( f 0,5 + f 1 + f 1,5 + f 2 + f 2,5 + f ( 3 ) )

= 0,5 ( 0,5 - 2 sen ⁡ 1 + 1 - 2 sen ⁡ 2 + 1,5 - 2 sen ⁡ 3

+ 2 - 2 sen ⁡ 4 + 2,5 - 2 sen ⁡ 5 + 3 - 2 sen ⁡ 6 )

= 0,5 ( - 0,341470 - 0,818594 + 1,217759 + 3,513604 + 4,417848 + 3,558830 )

= 0,5 11,547977 = 5,773988

Passo 2

Traçando o gráfico de f ( x ) , podemos representar os intervalos de tamanho Δ x = 0,5 e os valores da função nos finais do intervalo, formando retângulos.

Como podemos ver, a soma de Riemann de uma função busca aproximar a área entre a curva e o eixo x (considerando que a parte abaixo do eixo tem área negativa), do mesmo modo que fazemos ao calcular a área de retângulos aproximantes.

Passo 3

(b) Agora fazemos novamente a soma de Riemann, mas tomamos como valor de f a função nos pontos do meio dos intervalos, e não no final. Por exemplo, para o intervalo ( 0 ,   5 ) usamos f ( 0,25 ) e não f ( 0,5 ) como fizemos antes. A soma fica então:

S = ∑ i = 1 6 f x i Δ x = 0,5 ( f 0 , 25 + f 0,75 + f 1 , 25 + f 1,75 + f 2 , 25 + f ( 2,75 ) )

= 0,5 ( 0 , 25 - 2 sen ⁡ 0,5 + 0,75 - 2 sen ⁡ 1,5 + 1 , 25 - 2 sen ⁡ 2,5

+ 1,75 - 2 sen ⁡ 3,5 + 2 , 25 - 2 sen ⁡ 4 , 5 + 2,75 - 2 sen ⁡ 5,5 )

= 0,5 ( - 0,708851 - 1,244989 + 0,053055 + 2,451566 + 4,205060 + 4,161080 )

= 0,5 8,916921 = 4,458460

Resposta

  1. S = 5,773988
  2. S = 4,458460

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