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Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold - Capítulo 8.1 - Ex. 21

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Ache o valor exato da quantidade dada:

  1. cot - 1 ⁡ cot ⁡ π 6
  2. cot - 1 ⁡ cot ⁡ - π 3
  3. cot - 1 ⁡ cot ⁡ 7 π 6
  4. cot - 1 ⁡ tan ⁡ - 4 π 3

Passo 1

  1. cot - 1 ⁡ cot ⁡ π 6
  2. Devemos lembrar aqui que 0 < cot - 1 ⁡ x < π , ou seja, todos os resultados devem ser ângulos do primeiro ou segundo quadrante. E também que cot - 1 ⁡ cot ⁡ x = x quando x ∈ 0 , π .

    Neste caso, π 6 ∈ 0 , π . Então,

    cot - 1 ⁡ cot ⁡ π 6 = π 6

    Passo 2

  3. cot - 1 ⁡ cot ⁡ - π 3
  4. Aqui vamos converter radianos para graus usando a fórmula α = 180 ° ⋅ θ π em que θ é o ângulo em radianos. Dessa forma fica mais fácil conhecer os valores. Seja então:

    α = 180 ° ⋅ - π 3 π = - 60 °

    Portanto, cot - 1 ⁡ cot ⁡ - π 3 = cot - 1 ⁡ ( cot ⁡ - 60 ° ) = cot - 1 ⁡ cot ⁡ ( - 60 ° + 180 ° ) ⏟ cot ⁡ 12 0 ° = cot - 1 ⁡ cot ⁡ 2 π 3 = 2 π 3 ∈ 0 , π .

    Passo 3

  5. cot - 1 ⁡ cot ⁡ 7 π 6
  6. Aqui vamos usar a fórmula α = 180 ° ⋅ θ π de novo.

    α = 180 ° ⋅ 7 π 6 π = 21 0 °

    Portanto, cot - 1 ⁡ cot ⁡ 7 π 6 = cot - 1 ⁡ ( cot ⁡ 210 ° ) = cot - 1 ⁡ cot ⁡ ( 210 ° - 180 ° ) ⏟ cot ⁡ 30 ° = cot - 1 ⁡ cot ⁡ π 6 = π 6 ∈ 0 , π .

    Passo 4

  7. cot - 1 ⁡ cot ⁡ - 4 π 3

Aqui vamos usar a fórmula α = 180 ° ⋅ θ π de novo.

α = 180 ° ⋅ - 4 π 3 π = - 24 0 °

Portanto, cot - 1 ⁡ cot ⁡ - 4 π 3 = cot - 1 ⁡ ( cot ⁡ - 24 0 ° ) = cot - 1 ⁡ cot ⁡ ( - 240 ° + 36 0 ° ) ⏟ cot ⁡ 120 ° = cot - 1 ⁡ cot ⁡ 2 π 3 = 2 π 3 ∈ 0 , π .

Resposta

  1. π 6
  2. 2 π 3
  3. π 6
  4. 2 π 3

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