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Solucionário completo

Exercícios Resolvidos de Um curso de Cálculo Volume 2 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi

Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi - 12.1 - 9

Admita que, para todo x , y .

x ∂ f ∂ x x , y - y ∂ f ∂ y x , y = 0 .

Mostre que g t = f t , 2 t ,   t > 0 , é constante.

Passo 1

Para mostrar que g t é constante, basta mostrar que a derivada de g t resulta em zero.

g t = f t , 2 t

g t ' = f t , 2 t '

g ' t = ∂ f ∂ x t , 2 t ⋅ 1 + ∂ f ∂ y t , 2 t ⋅ - 2 t 2

g ' t = ∂ f ∂ x t , 2 t - ∂ f ∂ y t , 2 t ⋅ 2 t 2

Precisamos arranjar uma forma para que a nossa g ' t   fique parecida com

x ∂ f ∂ x x , y - y ∂ f ∂ y x , y = 0

Multiplicando t em ambos os lados da equação,

t ⋅ g ' t = t ⋅ ∂ f ∂ x t , 2 t - ∂ f ∂ y t , 2 t ⋅ 2 t 2

t ⋅ g ' t = t ⋅ ∂ f ∂ x t , 2 t - ∂ f ∂ y t , 2 t ⋅ 2 t

Agora que está parecido, podemos substituir,

t ⋅ g ' t = 0

g ' t = 0 t

g ' t = 0

∴ g t   é constante.

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Resposta

g t   é constante.

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