Enunciado

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Para a bateria:

f x = 1 60 e - x 6 0 s e x ≥ 0 0 s e x < 0

Ache a probabilidade de que uma bateria escolhida ao acaso tenha um tempo de vida de

a ) Não mais que 50 h

b ) Pelo menos 75 h

Passo 1

Para acharmos a probabilidade, devemos fazer a integral da função no intervalo que ele pediu.

Então na letra a , vamos ter:

P 0 < x < 5 0 = ∫ 0 5 0 1 60 e - x 60 d x

Vamos começar resolvendo a integral

∫ 1 60 e - x 60 d x

Fazendo:

a = - x 6 0 → d a = - d x 6 0 → d x 6 0 = - d a

∫ 1 60 e - x 60 d x = ∫ - e a d a = - e a + C

Voltando para   x

- e a + C = - e - x 6 0 + C

Passo 2

A probabilidade vai ser

P 0 < x < 5 0 = - e - x 6 0 0 5 0 = - e - 5 0 6 0 - - e - 0 6 0 = - e - 5 6 + 1

Passo 3

Agora, vamos para a outroa probabilidade, ele pediu pelo menos 75 h então devemos fazer

P x > 75

Para isso, a nossa integral vai de 75 até + ∞ que é o tempo infinito mesmo. Quando ele pedir pelo menos alguma coisa, sempre vai desse valro até + ∞

P x > 75 = ∫ 75 + ∞ 1 60 e - x 60 d x

Para resolvermos essa integral imprópria, vamos fazer o seu limite

∫ 75 + ∞ 1 60 e - x 60 d x = lim b → + ∞ ⁡ ∫ 75 b 1 60 e - x 60 d x

Sabemos que

∫ 1 60 e - x 60 d x = - e - x 6 0

Logo

lim b → + ∞ ⁡ ∫ 75 b 1 60 e - x 60 d x = lim b → + ∞ ⁡ - e - x 6 0 60 b = lim b → + ∞ ⁡ - e - b 60 - - e - 75 60 =

lim b → + ∞ ⁡ - e - b 6 0 + e - 5 4 = - e - ∞ + e - 5 4 = 0 + e - 5 4 = e - 5 4

Resposta

Letra a )

- e - 5 6 + 1

Letra b )

e - 5 4

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