Enunciado

Ver Outros Exercícios
desse livro

Se uma bola de neve derrete de forma que a área da superfície decresce a uma taxa de 1   c m 2 / m i n , encontre a taxa segundo a qual o diâmetro decresce quando o diâmetro é 10 cm.

(a) Quais são as quantidades dadas no problema?

(b) Qual é a incógnita?

(c) Faça um desenho da situação para qualquer instante t .

(d) Escreva uma equação que relacione as quantidades.

(e) Termine a resolução do problema.

Passo 1

Item a:

O problema diz que a área ( A ( t ) ) em função do tempo, em minutos, decresce a uma taxa de 1   c m 2 / m i n (então, A ' t = - 1 ) e em um determinado instante, o diâmetro é d ( t ) = 10   c m

Passo 2

Item b:

A incógnita é a taxa de variação do diâmetro, ou seja, d ' t .

Passo 3

Item c:

A bola de neve nada mais é do que um tipo de esfera, então:

Passo 4

Item d:

Como a situação descreve a área da superfície de um objeto esférico, temos:

A t = 4 π r a i o 2 = 4 π d t 2 2

A t = π ( d t ) 2

Passo 5

Item e:

Primeiramente, vamos derivar a equação implicitamente em função do tempo para obter a relação entre taxas de variação:

A ' ( t ) = π 2 d × d ' t

Se A ' t = - 1 e d ( t ) = 10 , então:

- 1 = π 2 ( 10 ) × d ' t

d ' t = - 1 20 π   c m / m i n

Logo, a taxa de variação do diâmetro é de - 1 20 π   c m / m i n , o sinal negativo significa que está decrescendo, como esperado.

Resposta

A taxa de variação do diâmetro é de - 1 20 π   c m / m i n , o sinal negativo significa que está decrescendo, como esperado.

Exercícios de Livros Relacionados

20. Caminhão na estrada O gráfico a seguir mostra a posição de um caminhão que percorre uma estrada. O caminhão parte em t = 0 e retorna 15 h mais tarde, em t = 15.a. Use a técnica...
O rendimento total recebido da venda de x carteiras é R x = 200 x - 1 3 x 2 c) Ache o rendimento real da venda da trigésima primeira carteira.
Encontre a taxa de variação média da área de um círculo em relação ao seu raio r quando r varia de 2 a 32 a 2,52 a 2,1Encontre a taxa de variação instantânea quando r = 2 Mostre qu...
O número de células de levedura em uma cultura de laboratório aumenta rapidamente no início, mas eventualmente estabiliza. A população é modelada pela função n = f t = a 1 + b e - ...
A quantidade de carga Q , em coulombs (C), que passa através de um ponto em um fio até o instante t (medido em segundos) é dada por Q t = t 3 - 2 t 2 + 6 t + 2 Encontre a corrente ...
A massa de parte de uma barra de metal que está situada entre o extremo esquerdo e um ponto x metro a direita é 3 x 2   k g . Encontre a densidade linear (veja o exemplo 2) quando ...
Uma pedra caiu dentro de um lago, produzindo uma ondulação circular que cresce para fora a uma velocidade de 60   c m / s . Encontre a taxa segundo a qual a área dentro do círculo ...
Os critais de cloreto de sódio são fáceis de crescer no formato de cubo, ao se permitir uma solução de água e cloreto de sódio evaporar vagarosamente. Se V for o volume de cada cub...
Considere a lei do fluxo laminar dada no exemplo 7. Considere um vaso sanguíneo com raio 0,01cm, comprimento 3cm, diferença de pressão 3 000 dinas / c m 2 e a viscosidade n = 0,027...
A Lei de Boyle afirma que quando uma amostra de gás é comprimida a uma temperatura constante, o produto da pressão pelo volume permanece constante: P V = C Encontre uma taxa de var...
Se p ( x ) for o valor total da produção quando há x trabalhadores em uma fábrica, então a produtividade média da força de trabalho da fábrica é A x = p x x (a) Encontre A ' x . Po...
35) No estudo de ecossistemas, o modelo predador-presa é muitas vezes usado para estudar a interação entre as espécies. Considere uma população de lobos da tundra, dada por W ( t )...