Enunciado

Calcular ∂ f ∂ v x 0 ,   y 0 na direção v → = 2 i → - j → :

f x , y = e x y ; x 0 ,   y 0 = - 1,2

Passo 1

Para acharmos a derivada na direção do vetor v → vamos usar aquela relação lá da teoria, se liga só:

∂ f ∂ v x 0 ,   y 0 = ∇ f x 0 , y 0 ⋅ v v

Então vamos começar encontrando o gradiente de f !

Passo 2

Para acharmos o gradiente, vamos fazer o seguinte:

∇ f x , y = ∂ f ∂ x i → + ∂ f ∂ y j →

Substituindo:

∇ f x , y = ∂ e x y ∂ x i → + ∂ e x y ∂ y j →

Derivando parcialmente:

∇ f x , y = y × e x y   i → + x × e x y   j →

Logo,

∇ f x , y = y e x y   i → + x e x y   j →

Então no ponto - 1,2 , temos:

∇ f - 1,2 = 2 e - 2   i → - e - 2   j →

Reescrevendo,

∇ f - 1,2 = 2 e - 2 , - e - 2

Passo 3

Voltando para formula do Passo 1, temos:

∂ f ∂ v - 1,2 = ∇ f 1,2 ⋅ 2 , - 1 2 , - 1

Substituindo com o que achamos no passo anterior:

∂ f ∂ v - 1,2 = 2 e - 2 , - e - 2 ⋅ 2 , - 1 2 , - 1

Como 2 , - 1 = 2 2 + - 1 2 :

∂ f ∂ v - 1,2 = 2 e - 2 , - e - 2 ⋅ 2 , - 1 2 2 + - 1 2

Fazendo o produto escalar:

∂ f ∂ v - 1,2 = 2 × 2 e - 2 + - 1 × - e - 2 5

Fazendo as contas:

∂ f ∂ v 1,2 = 5 e - 2 5

Racionalizando a expressão:

∂ f ∂ v 1,2 = 5 e - 2 5 × 5 5

Portanto,

∂ f ∂ v 1,2 = 5 e - 2

Resposta

∂ f ∂ v 1,2 = 5 e - 2

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