Enunciado

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8. Calcular ∫ C [ x x 2 + y 2 d x + y x 2 + y 2 d y ] , ao longo dos seguintes caminhos:

(a) circungerência de centro (2,0) e raio 1 no sentido anti-horário;

Passo 1

Vamos começar calculando as derivadas parciais de primeira ordem para saber se é conservativo.

Sendo

f 1 = x x 2 + y 2

f 2 = y x 2 + y 2

As derivadas

∂ f 1 ∂ y = - x y x 2 + y 2 3 2

∂ f 2 ∂ x = - x y x 2 + y 2 3 2

Como ∂ f 1 ∂ y = ∂ f 2 ∂ x = = - x y x 2 + y 2 3 2 , então é conservativo.

Passo 2

Como C está contida em um domínio simplesmente conexo que não contém a origem (C é uma circunferência que tem o centro em (2,0) e tem raio 1, ou seja, não contém o ponto (0,0)), podemos usar o Teorema 9.5.5

∫ C f → ⋅ d r →   = 0

Resposta

0

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