Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Capítulo 9.6 - Ex. 5.a

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5. Calcular ∫ C f → ⋅ d r →   , onde f → = y x 2 + y 2 , - x x 2 + y 2 , ao longo dos seguintes caminhos:

a) circunferência de centro em (4,4) e raio 2, no sentido anti-horário;

Passo 1

Vamos começar calculando as derivadas parciais de primeira ordem para saber se é conservativo.

Sendo

f 1 = y x 2 + y 2

f 2 = - x x 2 + y 2

As derivadas

∂ f 1 ∂ y = x 2 - y 2 x 2 + y 2 2

∂ f 2 ∂ x = x 2 - y 2 x 2 + y 2 2

Como ∂ f 1 ∂ y = ∂ f 2 ∂ x = x 2 - y 2 x 2 + y 2 2 , então é conservativo.

Passo 2

Como C está contida em um domínio simplesmente conexo que não contém a origem (C é uma circunferência que tem o centro em (4,4) e tem raio 2, ou seja, não contém o ponto (0,0)), podemos usar o Teorema 9.5.5

∫ C f → ⋅ d r →   = 0

Resposta

∫ C f → ⋅ d r →   = 0

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