Enunciado

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Calcular

∫ ∫ S x y z   d S  

Onde S é a superfície plana 3 x + 2 y   +   z   =   12 , delimitada pelos planos y = 0   , y = 2   , x = 0   , x = 1  

Passo 1

Podemos resolver esse exercício resolvendo a integral da seguinte maneia

∫ ∫ S f   d S =   ∫ ∫ R f   x , y ,   z ( x , y )   1 + ∂ z ∂ y 2 + ∂ z ∂ x 2 d y d x

Ou seja projetando a região no plano XY e parametrizando Z em função de X e Y

Primeiro vamos visualizar a região

Esse é um recorte do plano

3 x + 2 y + z = 12

Se a gente projetar no plano XY, nossa equação de parametrização será

z = 12 - 3 x - 2 y  

Mega fácil, certo?

Passo 2

Vamos dar uma olhada na nossa nova região

Como Temos vários planos cortando nossa região

z = 12 - 3 x - 2 y  

Ao projetarmos no plano XY, obtemos um cubo. Logo nossa região de integração será

y ∈ 0,2

x ∈ 0,1

Passo 3

Vamos achar as derivadas parciais de z

z = 12 - 3 x - 2 y  

z x =   - 3

z y =   - 2

Vamos agora montar nossa integral

∫ 0 1 ∫ 0 2 f   x , y ,   z ( x , y )   1 + ∂ z ∂ y 2 + ∂ z ∂ x 2 d y d x

Show! Vamos arregaçar as mangas e integrar

∫ 0 1 ∫ 0 2 x y   12 - 3 x - 2 y 1 + - 3 2 + - 2 2 d y d x

= 14 ∫ 0 1 ∫ 0 2 x y   12 - 3 x - 2 y d y d x

= 14 ∫ 0 1 ∫ 0 2 12 x y - 3 x 2 y - 2 x y ² d y d x

= 14 ∫ 0 1 6 y 2 x - 3 2 x 2 y 2 - 2 3 x y 3 y = 0 2   d x  

=   14 ∫ 0 1 24 x - 6 x 2 - 2 4 3 x   d x  

= 14 12 x 2 - 2 x 3 - 2 3 3 x 2 x = 0 1

= 14   12 - 2 - 8 3  

= 27,44

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

∫ ∫ S x y z   d S = 27,44  

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