Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Capítulo 10.11 - Ex. 30

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desse livro

Calcular

∫ ∫ S x 2 + y 2   d S  

Onde S é a superfície esférica   x 2 + y 2 + z 2 = 16

Passo 1

Podemos resolver esse exercício resolvendo a integral da seguinte maneia

∫ ∫ S f   d S =   ∫ ∫ R f   x , y ,   z ( x , y )   1 + ∂ z ∂ y 2 + ∂ z ∂ x 2 d y d x

OU seja projetando a região no plano XY e parametrizando Z em função de X e Y

Primeiro vamos visualizar a região que vamos projetar

Vamos ter esse circulo de raio 4. Nossa parametrização para z fica

z   = 16 - x 2 - y 2

Passo 2

Vamos calcular as parciais de z

z x = - 2 x 2 16 - x 2 - y 2 → - x 16 - x 2 - y 2  

O mesmo raciocínio vale para y

z y =   - y 16 - x 2 - y 2

Passo 3

Vamos agora montar nossa integral

∫ ∫ x 2 + y 2   1 + - x 16 - x 2 - y 2 2 + - y 16 - x 2 - y 2 2 d y d x

=   ∫ ∫ x 2 + y 2   1 + x ² 16 - x 2 - y 2 + y ² 16 - x 2 - y 2 d y d x

=   ∫ ∫ x 2 + y 2   16 - x 2 - y 2 16 - x 2 - y 2 + x ² 16 - x 2 - y 2 + y ² 16 - x 2 - y 2 d y d x

=   ∫ ∫ x 2 + y 2   16 - x 2 - y 2 + x 2 + y 2 16 - x 2 - y 2 d y d x

= 16 ∫ ∫ x 2 + y 2   1 16 - x 2 - y 2 d y d x

Agora chegamos a um impasse. Integrar uma região circular em coord. Cartesianas é pedir para morrer bem lentamente. Seria mais interessante ( e muito mais rápido nós fazermos a passagem para polar – Lembrando que temos que multiplicar pelo jacobiano nessa conversão 😉 ). Para convertermos usamos a equação

x 2 + y 2 = r ²

Assim nossa integral fica

= 4 ∫ 0 2 π ∫ 0 4 r ²   1 16 - r 2 r d r d θ

Os limites de integração em polar são muito mais fáceis de enxergar. O raio cresce de 0 a 4 e o ângulo varia em 2 π .   Okay, essa não é a integral mais fácil do mundo. Mas temos um truque na manga! Vamos primeiro integrar em relação a θ visto que nossas variáveis não dependem dele

=     4 * 2 π ∫ 0 4 r 2 16 - r 2 r d r

= 8 π ∫ 0 4 r 16 - r 2   r 2 d r

Decidi deixar explicito os fatores de r assim porque vai ficar um pouco mais obvio o próximo truque. Vamos fazer uma substituição

16 - r 2 = u → r 2 = 16 - u

- 2 r   d r = d u

Agora vamos achar os novos limites de integração

r = 4 → u = 0

r = 0 →   u = 16

= 8 π ∫ 16 0 - 1 2 u   16 - u d u

=   8 π ∫ 16 0 - 1 6 2 u + u 2 u d u

Agora sim ficou uma integral mais fácil de se resolver

=   8 π ∫ 16 0 - 16 2 u + u 2   d u

= 8 π   - 16 u + 1 3 u 3 2 16 0

= 8 π   16 * 4 - 1 3 4 3

= 1072

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

∫ ∫ S x 2 + y 2   d S = 1072  

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