Enunciado

Calcular ∭ T ( x 2 + y 2 + z 2 ) . d V , onde T é a esfera x 2 + y 2 + z 2 = 9 e interior ao cone z = x 2 + y 2

Passo 1

Bora começar?!

Então galera, a primeira coisa a fazer aqui é tentar desenhar:

Beleza! Agora que já sabemos como é a figura podemos deduzir que z é limitado superiormente pela esfera x 2 + y 2 + z 2 = 9   e inferiormente pelo cone z = x 2 + y 2 .

Neste caso é legal nós usarmos coordenadas esféricas:

x 2 + y 2 + z 2 = p 2

p 2 = 9

p = ± 3

Como p é a distância do ponto à origem, a máxima distância será 3 e a menor, zero.

Então p estará entre:

0 ≤ p ≤ 3

Legal, agora só precisamos de ф e θ .

Já sabemos que ф é o ângulo entre um ponto P e o eixo z, certo? Pela equação do cone temos que:

z = x 2 + y 2

Em coordenadas esféricas podemos substituir:

z = p . cos ⁡ ф  

x = p . sen ⁡ ф . cos ⁡ ф

y = p . sen ⁡ ф . sen ⁡ ф

p . cos ⁡ ф = ( p . sen ⁡ ф . cos ⁡ ф ) 2 + ( p . sen ⁡ ф . sen ⁡ ф ) 2

p . cos ⁡ ф = p 2 . sen 2 ⁡ ф ( cos ⁡ ф 2 + sen ⁡ ф 2 )

p . cos ⁡ ф = p 2 . sen 2 ⁡ ф

p . cos ⁡ ф = p . sen ⁡ ф

tg ⁡ ф = 1

ф = π 4

Sendo assim, o ponto P pode fazer um ângulo com o eixo z de 0 até π 4 .

0 ≤ ф ≤ π 4

O θ é o ângulo que o ponto pode fazer com o eixo x, então:

0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 2

Agora que já sabemos os intervalos de integração, podemos usar a definição (4) para mudar as variáveis de integração:

∭ T x 2 + y 2 + z 2 . d V = ∭ T ( p 2 ) p 2 . s e n   ф . d p . d θ . d ф

= ∬ R ∫ 0 3 p 4 . d p s e n   ф . d θ . d ф

Resolvendo:

∫ 0 3 p 4 . d p = p 5 5 = 3 5 5

= 243 5

Aplicando na integral:

= ∫ 0 π 4 [ ∫ 0 2 π 243 5 d θ ] s e n   ф . d ф    

Resolvendo a integral:

∫ 0 2 π 243 5 d θ = 486 π 5

Passo 3

Agora vamos colocar o resultado do passo 2 na equação:

= ∫ 0 π 4 486 π 5   . s e n   ф . d ф      

= 486 π 5 ∫ 0 π 4 s e n   ф . d ф  

= 486 π 5 ( - c o s   ф )

Aplicando o intervalo:

= - 486 π 5 ( c o s   π 4 - c o s   0 )

= 486 π 5 1 - 2 2

= 486 π 5 2 - 2 2

= 243 π ( 2 - 2 ) 5

Legal né ?

Resposta

243 π ( 2 - 2 ) 5

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Escreva cada combinação de vetores como um único vetor. P Q → + Q R → R P → + P S → Q S → - P S → R S → + S P → + P Q →