Enunciado

Calcular ∭ T ( x 2 + y 2 ) d V , onde T é delimitada por x 2 + y 2 = 1 ,   x 2 + y 2 = 4 ,   x 2 + y 2 + z 2 = 9 e z = 0

Passo 1

Bora começar?!

Então galera, a primeira coisa a fazer aqui é tentar desenhar:

Beleza! Agora que já sabemos como é a figura podemos deduzir que z é limitado pelo plano z = 0 e pela esfera x 2 + y 2 + z 2 = 9 .  

Neste caso é legal nós usarmos coordenadas cilíndricas:

x 2 + y 2 + z 2 = 9

z = 9 - r 2

Então z estará entre:

0 ≤ p ≤ 9 - r 2

Legal, agora só precisamos de r e θ .

Já sabemos que r deverá ser do cilindro menor até o cilindro maior.

Começando pelo cilindro menor:

x 2 + y 2 = 1 → r = 1

E para o maior:

x 2 + y 2 = 4 → r = 2

Então:

1 ≤ r ≤ 2

O θ é o ângulo que o ponto pode fazer com o eixo x, então:

0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 2

Agora que já sabemos os intervalos de integração, podemos usar a definição (4) para mudar as variáveis de integração:

∭ T ( x 2 + y 2 ) d V = ∭ T r 2 d z . r d r . d θ

= ∬ R ∫ 0 9 - r 2 d z r 3 d r . d θ

Resolvendo:

∫ 0 9 - r 2 d z = z = 9 - r 2

Aplicando na integral:

= ∫ 0 2 π [ ∫ 1 2 r 3 9 - r 2 d r ] d θ    

Resolvendo a integral:

∫ 1 2 r 3 9 - r 2 d r

Vamos chamar:

u = 9 - r 2 → r = 9 - u 2

d u = 1 2 9 - r 2 - 1 2 . - 2 r = - r d r 9 - r 2 = - r d r u →   - u . d u = r . d r

∫ 1 2 9 - u 2 . u - u . d u = - ∫ 1 2 9 - u 2 . u 2 d u

= - ∫ 1 2 9 u 2 - u 4 d u = - 9 u 3 3 - u 5 5

Substituindo u:

= - 9 ( 9 - r 2 ) 3 2 3 - ( 9 - r 2 ) 5 2 5

Agora é só aplicar nosso intervalo:

= 1 5 9 - 2 2 5 2 - 9 - 1 2 5 2 - 9 3 9 - 2 2 3 2 - 9 - 1 2 3 2

= 1 5 5 5 2 - 8 5 2 - 9 3 5 3 2 - 8 3 2

= 1 5 25 5 - 128 2 - 9 3 5 5 - 1 6 2

= 5 5 - 128 2 5 - 1 5 5 + 48 2

= - 128 2 5 - 1 0 5 + 48 2

= 1 1 2 2 5 - 10 5

Passo 3

Agora vamos colocar o resultado do passo 2 na equação:

= ∫ 0 2 π 112 2 5 - 10 5   d θ      

= 2 π 112 2 5 - 10 5  

= π 224 2 5 - 2 0 5

Gostaram ?

Resposta

π 224 2 5 - 20 5

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