Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A - Capítulo 8.4 - Ex. 39

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desse livro

Calcular a área da região entre as curvas

x = 4 cos ⁡ t y = 2   s e n   t   e x = cos ⁡ t y = s e n   t

Passo 1

A = ∫ t 0 t y t ⋅ x ' ( t ) d t

x ' = - 4   s e n   t

x ' =   - s e n   t

Primeiro devemos descobrir a área considerando a abertura interna:

A 1 = 4 ∫ π 2 0 4   s e n   t ⋅ - 2   s e n   t   d t = - 32 ∫ π 2 0 s e n 2   t d t

Integrando:

A 1 = - 16 t + 8   s e n   2 t

Aplicando os limites, temos:

A 1 = - 16 0 - π 2 + 4 s e n   0 - s e n   π = 8 π  

Passo 2

Agora, devemos descobrir a área da abertura interna:

A 2 = 4 ∫ π 2 0   s e n   t ⋅ -   s e n   t   d t = - 4 ∫ π 2 0 s e n 2   t d t

Integrando:

A 2 = - 2 t + s e n   2 t

Aplicando os limites, temos:

A 2 = - 2 0 - π 2 + s e n   0 - s e n   π = π  

Passo 3

Para finalizar, subtraímos A 2 de A 1 :

A = A 1 - A 2 = 8 π - π = 7 π

Resposta

7 π   u .   c

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