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Calcular a área da região limitada pelas curvas

y = 1 x - 1 x - 4 ,   y = 1 1 - x x - 4 ,   x = 2   e   x = 3 .

Passo 1

Eu vou chamar 1 x - 1 x - 4   de y 1 e 1 x - 1 x - 4 de y 2 pra não confundir na hora de montar.

A área que a gente quer é a dessa figura aqui:

Passo 2

Então, como a gente sabe, temos que calcular a integral assim:

∫ 2 3 1 1 - x x - 4 - 1 x - 1 x - 4   d x

Aí a gente pode fazer:

∫ 2 3 - 1 x - 1 x - 4 - 1 x - 1 x - 4 d x

∫ 2 3 - 2 x - 1 x - 4 d x

Agora a gente tem que calcular essa integral usando frações parciais. São termos lineares, então vai ficar assim:

- 2 x - 1 x - 4 = A x - 1 + B x - 4

Vamos achar A   e   B agora...

Passo 3

Desenvolvendo ali vai ficar sim:

- 2 x - 1 x - 4 = A ( x - 4 ) x - 1 + B ( x - 1 ) x - 4

Vamos cortar os denominadores agora...

- 2 = A x - 4 + B ( x - 1 )

- 2 = A x - 4 A + B x - B

- 2 = x A + B - 4 A - B

Pra isso ser igual, a gente precisa que:

A + B = 0 - 4 A - B = - 2

Aí a gente tem que A = - B , então:

4 B - B = - 2 → B = - 2 3

E A = 2 3 .

Passo 4

Vamos remontar a integral agora com esses valores:

I = ∫ 2 3 2 3 x - 1 - 2 x - 4 d x

A gente separa em duas:

= 2 3 ∫ 2 3 1 x - 1 d x - ∫ 2 3 1 x - 4 d x

Integrando a gente fica com:

= 2 3 ln ⁡ x - 1 - ln ⁡ x - 4 2 3

= 2 3 ln ⁡ 3 - 1 - ln ⁡ 3 - 4 - ln ⁡ 2 - 1 + ln ⁡ 2 - 4  

= 2 3 ln ⁡ 2 - ln ⁡ 1 - ln ⁡ 1 + ln ⁡ 2

= 2 3 2 ln ⁡ 2

4 ln ⁡ 2 3   u . a

Essa é a área procurada😉

Resposta

4 ln ⁡ 2 3   u . a

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