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Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A - Capítulo 7.4 - Ex. 41

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desse livro

Calcular a área sob o gráfico de y = cos 6 ⁡ x , de 0 até π .

Passo 1

Para encontrar a região da área vamos primeiro desenhar a curva y = cos 6 ⁡ x :

Passo 2

Pronto, temos o desenho base do gráfico. Agora vamos colocar as retas, elas vão limitar a área que queremos:

Passo 3

Vamos agora montar a integral da área, temos que os limites de integração são de 0 até π , e temos que y = cos 6 ⁡ x é a função de cima, e y = 0 é a função de baixo, vamos substituir:

A = ∫ a b f c i m a - f b a i x o d x = ∫ 0 π cos 6 ⁡ x - 0 d x = ∫ 0 π cos 6 ⁡ x d x

Para calcular ∫ 0 π cos 6 ⁡ x d x vamos usar a fórmula de Recorrência, e vamos calcular a integral indefinida e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração:

∫ cos n ⁡ u d u = 1 n cos n - 1 ⁡ u sen ⁡ u + n - 1 n ∫ cos n - 2 ⁡ u d u

Assim:

∫ cos 6 ⁡ x d u = 1 6 cos 6 - 1 ⁡ x sen ⁡ x + 6 - 1 6 ∫ cos 6 - 2 ⁡ x d x =

= 1 6 cos 5 ⁡ x sen ⁡ x + 5 6 ∫ cos 4 ⁡ x d x

Passo 4

Vamos usar a fórmula de Recorrência novamente para calcular essa integral que achamos:

∫ cos 4 ⁡ x d x = 1 4 cos 4 - 1 ⁡ x sen ⁡ x + 4 - 1 4 ∫ cos 4 - 2 ⁡ x d x =

= 1 4 cos 3 ⁡ x sen ⁡ x + 3 4 ∫ cos 2 ⁡ x d x

Vamos usar a identidade para calcular a segunda integral que achamos:

cos 2 ⁡ x = 1 2 + cos ⁡ 2 x 2

∫ cos 2 ⁡ x d x = ∫ 1 2 + cos ⁡ 2 x 2 d x = ∫ 1 2 d x + ∫ cos ⁡ 2 x 2 d x = 1 2 x + sen ⁡ 2 x 4 + C

Agora é só juntar tudo:

∫ cos 6 ⁡ x d x = 1 6 cos 5 ⁡ x sen ⁡ x + 5 6 ∫ cos 4 ⁡ x d x =

= 1 6 cos 5 ⁡ x sen ⁡ x + 5 6 1 4 cos 3 ⁡ x sen ⁡ x + 3 4 ∫ cos 2 ⁡ x d x =

= 1 6 cos 5 ⁡ x sen ⁡ x + 5 6 1 4 cos 3 ⁡ x sen ⁡ x + 3 4 1 2 x + sen ⁡ 2 x 4 + C

Passo 5

Pronto, já encontramos a integral indefinida, agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Agora é só juntar tudo para achar a área:

A ∫ 0 π cos 6 ⁡ x d x = 1 6 cos 5 ⁡ x sen ⁡ x + 5 6 1 4 cos 3 ⁡ x sen ⁡ x + 3 4 1 2 x + sen ⁡ 2 x 4 0 π =

= 1 6 cos 5 ⁡ π sen ⁡ π + 5 6 1 4 cos 3 ⁡ π sen ⁡ π + 3 4 1 2 π + sen ⁡ 2 π 4 - 1 6 cos 5 ⁡ 0 sen ⁡ 0 + 5 6 1 4 cos 3 ⁡ 0 sen ⁡ 0 + 3 4 1 2 ⋅ 0 + sen ⁡ 2 ⋅ 0 4 =

= 1 6 ⋅ - 1 5 ⋅ 0 + 5 6 1 4 ⋅ - 1 ⋅ 0 + 3 4 1 2 π + 0 4 - 1 6 ⋅ 1 ⋅ 0 + 5 6 1 4 ⋅ 1 ⋅ 0 + 3 4 1 2 ⋅ 0 + 0 4 = 5 6 3 π 8 = 5 π 16

Resposta

A = 5 π 16

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