Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A - Capítulo 7.9 - Ex. 14

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desse livro

Calcular a integral indefinida.

∫ d θ 4 - s e n   θ + c o s θ

Passo 1

Vamos lá, aqui a gente tem uma função racional de seno e cosseno.

O próprio livro dá o macete pra resolver esse tipo de integral. Nesse caso aqui vai ficar

  t = t g θ 2

E com isso a gente tem que:

s e n   θ = 2 t 1 + t 2 ; cos ⁡ θ = 1 - t 2 1 + t 2   e   d θ = 2 d t 1 + t 2

Passo 2

Substituindo vai ficar assim:

∫ 2 d t 1 + t 2 4 - 2 t 1 + t 2 + 1 - t 2 1 + t 2

Agora vamos dar uma ajeitadinha...

∫ 2 d t 1 + t 2 4 + 4 t 2 - 2 t + 1 - t 2 1 + t 2

= ∫ 2 d t 3 t 2 - 2 t + 5

= ∫ 2 3 d t t 2 - 2 3 t + 5 3

Vamos completar o quadrado ali embaixo agora:

= ∫ 2 3 d t t - 1 3 2 + 14 9

Passo 3

Vamos resolver essa última integral aí agora:

2 3 ∙ 1 14 3 a r c t g t - 1 3 14 3 + C

Aí é só voltar para a variável inicial...

2 14 a r c t g   3 t g θ 2 - 1 14 + C

Prontinho! Essa é a integral😊

Resposta

2 14 a r c t g   3 t g θ 2 - 1 14 + C

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