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Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi - Capítulo 12.1 - Ex. 4d

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4. Calcule

d )   ∫ 0 π 2 1 2 + 1 2 cos ⁡ 2 x   d x

Passo 1

Sabendo que ambas se tratam de primitivas imediatas. Como a primeira integral se trata de uma constante, temos a primitiva imediata dada por ∫ c   d x = c x + k ,   sendo c e k constantes. Enquanto que a segunda integral é da função cosseno, com primitiva imediata dada ∫ cos ⁡ α x   d x = 1 α sin ⁡ α x + k , sendo k uma constante. Logo,

∫ 1 2 + 1 2 cos ⁡ 2 x   d x =   1 2 x + 1 2 * 1 2 sin ⁡ 2 x = 1 2 x + 1 4 sin ⁡ 2 x  

Passo 2

Agora vamos substituir o intervalo da integral

∫ 0 π 2 1 2 + 1 2 cos ⁡ 2 x   d x = 1 2 * π 2 + 1 4 sin ⁡ 2 π 2 - 0 + 1 4 sin ⁡ 0 = π 4 + 1 4 sin ⁡ π = π 4

Resposta

Portanto, o resultado é

∫ 0 π 2 1 2 + 1 2 cos ⁡ 2 x   d x = π 4

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