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4. Calcule

c )   ∫ 0 π 3 sin ⁡ 3 x + cos ⁡ 3 x   d x

Passo 1

Olá! Aqui temos uma integral definida para resolver. Então primeiros vamos achar a primitiva e depois aplicar os limites de integração.

Para achar a primitiva vamos usar uma substituição simples! O grande lance aqui é perceber que o argumento do seno e cosseno são iguais ( 3 x ). Vamos lá, então!

Passo 2

Vamos resolver,

∫ sin ⁡ 3 x + cos ⁡ 3 x d x

Vamos fazer a seguinte substituição,

u = 3 x

d u = 3 d x → d u 3 = d x

Montando a integral,

∫ sin ⁡ u + cos ⁡ u d u 3 = - cos ⁡ u 3 + sin ⁡ u 3

Voltando para variável x

∫ sin ⁡ 3 x + cos ⁡ 3 x d x = - cos ⁡ 3 x 3 + sin ⁡ 3 x 3

Agora vamos aplicar os limites de integração!

Passo 3

Agora vamos substituir o intervalo da integral

  ∫ 0 π 3 sin ⁡ 3 x + cos ⁡ 3 x   d x =   - 1 3 cos ⁡ 3 π 3 + 1 3 sin ⁡ 3 π 3 - - 1 3 cos ⁡ 0 + 1 3 sin ⁡ 0 = 1 3 + 1 3 = 2 3  

Resposta

Logo, a resposta é

∫ 0 π 3 sin ⁡ 3 x + cos ⁡ 3 x   d x = 2 3

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Prove que o Teorema 5.6.7 é válido para a ordenação dada: c < a < b (Teorema dado no livro).
Calcule a integral definida ∫ 2 - 1 2 x + 1 2   d x usando os resultados: ∫ - 1 2 x 2 d x = 3                     ∫ - 1 2 x   d x = 3 2