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  1. Calcule

c) ∫ 0 x f t d t     onde     f t = t 2       s e   - 1 ≤ t ≤ 1   2       s e           t > 1  

Passo 1

Como f é limitada no intervalo [ 0 , x ] e descontínua apenas no ponto x = 1 , então ela é integrável. Para integrar, vamos fazer o seguinte:

Se 0 ≤ x < 1 :

I = ∫ 0 x f t d t

Se x ≥ 1 :

I = ∫ 0 1 f t d t + ∫ 1 x f t d t

Passo 2

O primeiro caso fica o seguinte:

f t = t 2   , pois 0 ≤ x < 1

Logo,

I = ∫ 0 x t 2 d t

Não esquece: ∫ x n d x   = x n + 1 n + 1 + c   quando   n   ≠ - 1

Resolvendo a integral:

I = t 3 3 | 0 x

Por fim,

I = x 3 3 - 0 3 3 → I = x 3 3

Passo 3

Agora vamos analisar o caso em que x ≥ 1 .

I = ∫ 0 1 f t d t + ∫ 1 x f t d t

Entre [ - 1,1 ] :

f t = t 2

E entre 1 , x :

f t = 2

Assim,

I = ∫ 0 1 t 2 d t + ∫ 1 x 2 d t

Resolvendo, temos:

I = t 3 3 | 0 1 + 2 × t | 1 x

Logo,

I = 1 3 3 - 0 3 3 + 2 × ( x - 1 )

Fazendo as contas

I = 2 x - 5 3

Agora podemos juntar nossas respotas.

∫ 0 x f t d t = x 3 3 ,     0 ≤ x < 1 2 x - 5 3 ,                                         x ≥ 1

Resposta

∫ 0 x f t d t = x 3 3 ,     0 ≤ x < 1 2 x - 5 3 ,                                         x ≥ 1

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