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Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi - Capítulo 12.4 - Ex. 1n

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Calcule.

∫ - x 2 + 2 x + 3 d x

Passo 1

Vamos manipular um pouco a expressão, vamos completando o quadrado dentro da raiz. A expressão - x - 1 2 = - x 2 + 2 x - 1 é bem parecida com a que temos, então vamos fazer assim:

- x 2 + 2 x + 3 = - x 2 + 2 x - 1 + 4 = - x - 1 2 + 4

Substituindo:

∫ - x 2 + 2 x + 3 d x = ∫ - x - 1 2 + 4 d x

Bem, aqui vamos usar a Regra da Substituição, então mãos à obra! Agora vamos fazer uma mudança de variável para calcular essa integral:

u = x - 1

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 - 0   d x = d x

Vamos agora fazer a substituição:

∫ - x - 1 2 + 4 d x = ∫ - u 2 + 4   d u

Passo 2

Agora vamos fazer uma substituição trigonométrica, temos que a expressão é da forma a 2 - x 2 , nesse formato de expressão vamos fazer u = a sen ⁡ θ e utilizar a identidade trigonométrica sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1 :

u = 2 sen ⁡ θ → θ = arcsen ⁡ u 2

d u = 2 cos ⁡ θ d θ

∫ - u 2 + 4   d u = ∫ - 2 sen ⁡ θ 2 + 4   2 cos ⁡ θ d θ = ∫ - 4 sen 2 ⁡ θ + 4   2 cos ⁡ θ d θ

Usando a identidade trigonométrica sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1 → 1 - sen 2 ⁡ θ = cos 2 ⁡ θ :

∫ - 4 sen 2 ⁡ θ + 4   2 cos ⁡ θ d θ = ∫ 4 1 - sen 2 ⁡ θ   2 cos ⁡ θ d θ = ∫ 2 4 cos 2 ⁡ θ   cos ⁡ θ d θ = ∫ 2 ⋅ 2 cos ⁡ θ cos ⁡ θ d θ = ∫ 4 cos 2 ⁡ θ d θ

Agora vamos usar outra identidade trigonométrica cos 2 ⁡ x = 1 + cos ⁡ 2 x 2 :

∫ 4 cos 2 ⁡ θ d θ = ∫ 4 1 + cos ⁡ 2 θ 2 d θ = 2 ∫ 1 + cos ⁡ 2 θ d θ

E vamos fazer uma última substituição:

v = 2 θ

d v = 2 d θ → d θ = d v 2

2 ∫ 1 + cos ⁡ 2 θ d θ = 2 ∫ 1 + cos ⁡ v d v 2   = ∫ 1 + cos ⁡ v d v

Passo 3

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando essas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ k   d x = k x + C

∫ cos ⁡ x d x = sen ⁡ x + C

Agora é só aplicar:

∫ 1 + cos ⁡ v d v = v + sen ⁡ v + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você foi usando no começo:

∫ - x 2 + 2 x + 3 d x = v + sen ⁡ v + C = 2 θ + sen ⁡ 2 θ + C = 2 arcsen ⁡ u 2 + sen ⁡ 2 arcsen ⁡ u 2 + C = 2 arcsen ⁡ x - 1 2 + sen ⁡ 2 arcsen ⁡ x - 1 2 + C

Resposta

∫ - x 2 + 2 x + 3 d x = 2 arcsen ⁡ x - 1 2 + sen ⁡ 2 arcsen ⁡ x - 1 2 + C

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